сайты - меню - вход - но­во­сти
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об олим­пи­а­дах
Ка­та­лог за­да­ний
Уче­ни­ку
Учи­те­лю
Школа
Ска­зать спа­си­бо
Во­прос — ответ


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

а)  Най­ди­те число раз­лич­ных бук­вен­ных со­че­та­ний, ко­то­рые можно об­ра­зо­вать, пе­ре­став­ляя буквы в слове «бао­баб».

б)  До­ка­жи­те тож­де­ство \sum_k=1 в сте­пе­ни n kC_n в сте­пе­ни k =n умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

в)  Двое иг­ра­ют в такую игру: мо­не­ту бро­са­ют два раза и пер­вый из двух иг­ро­ков вы­иг­ры­ва­ет, если оба раза она упала одной и той же сто­ро­ной. Из­вест­но, что мо­не­та фаль­ши­вая, так что ве­ро­ят­ность по­яв­ле­ния герба при одном бро­са­нии равна p не равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . При каких p чаще будет вы­иг­ры­вать пер­вый игрок?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а) Ко­неч­но, этот ответ сле­ду­ет из общей фор­му­лы для числа пе­ре­ста­но­вок с по­вто­ре­ни­я­ми: дробь: чис­ли­тель: 6!, зна­ме­на­тель: 3!2! конец дроби =60. Од­на­ко для ре­ше­ния за­да­чи знать эту фор­му­лу со­всем не обя­за­тель­но, до­ста­точ­но про­сто на­вы­ка в ис­поль­зо­ва­нии «пра­ви­ла про­из­ве­де­ния» и зна­ком­ства с опре­де­ле­ни­ем чисел со­че­та­ний. Дей­стви­тель­но: буква «о» может сто­ять на любом из шести мест, для буквы «а» (когда «о» уже по­став­ле­на) име­ет­ся C_5 в квад­ра­те =10 ва­ри­ан­тов, на остав­ших­ся трех ме­стах рас­по­ла­га­ют­ся буквы «б». Кста­ти го­во­ря, тот, кто про­ве­дет по­доб­ное рас­суж­де­ние, может уви­деть, что если вна­ча­ле вы­би­рать три места для букв «б», то всего ва­ри­ан­тов C_6 в кубе умно­жить на 3, так что 3C_6 в кубе =6C_5 в квад­ра­те . По­лу­чен­ное ра­вен­ство яв­ля­ет­ся част­ным слу­ча­ем до­ка­зы­ва­е­мо­го ана­ло­гич­ным об­ра­зом тож­де­ства kC_n в сте­пе­ни k =nC_n минус 1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , ис­поль­зу­е­мо­го в сле­ду­ю­щем пунк­те.

 

Ответ: 60.

 

б)  Имеем:

\sum_k=1 в сте­пе­ни n kC_n в сте­пе­ни k =n\sum_k=1 в сте­пе­ни n дробь: чис­ли­тель: k, зна­ме­на­тель: n конец дроби C_n в сте­пе­ни k = n\sum_k=1 в сте­пе­ни n C_n минус 1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =n умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Дру­гое рас­суж­де­ние ос­но­ва­но на идее про­из­во­дя­щих функ­ций. Пусть P левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =\sum_k=0 в сте­пе­ни n C_n в сте­пе­ни k x в сте­пе­ни k , тогда P в сте­пе­ни prime левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = \sum_k=1 в сте­пе­ни n kC_n в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , так что P в сте­пе­ни prime левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = \sum_k=1 в сте­пе­ни n kC_n в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка . С дру­гой сто­ро­ны, P левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка 1 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни n , P в сте­пе­ни prime левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =n левая круг­лая скоб­ка 1 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , по­это­му P в сте­пе­ни prime левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =n умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка !

в)  В ре­ше­нии ис­поль­зу­ют­ся лишь про­стей­шие по­ня­тия тео­рии ве­ро­ят­но­сти. Ве­ро­ят­ность того, что оба раза выпал герб, равна p в квад­ра­те , ве­ро­ят­ность вы­па­да­ния двух решек левая круг­лая скоб­ка 1 минус p пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те . Зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что пер­вый игрок вы­иг­ра­ет, равна

p в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 1 минус p пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =2p в квад­ра­те минус 2p плюс 1=2\bigl левая круг­лая скоб­ка p минус \tfrac12\bigr пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс \tfrac12 боль­ше \tfrac12,

тем самым при любых p не равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби чаще будет вы­иг­ры­вать он.

 

Ответ: p не равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

Мак­си­мум за сюжет 12 бал­лов. При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.

Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024