РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

а)  Найдите число различных буквенных сочетаний, которые можно образовать, переставляя буквы в слове «баобаб».

б)  Докажите тождество $\sum_k=1 в степени n kC_n в степени k =n умножить на 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка .$

в)  Двое играют в такую игру: монету бросают два раза и первый из двух игроков выигрывает, если оба раза она упала одной и той же стороной. Известно, что монета фальшивая, так что вероятность появления герба при одном бросании равна $p не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ При каких p чаще будет выигрывать первый игрок?

Решение. а) Конечно, этот ответ следует из общей формулы для числа перестановок с повторениями: $дробь: числитель: 6!, знаменатель: 3!2! конец дроби =60.$ Однако для решения задачи знать эту формулу совсем не обязательно, достаточно просто навыка в использовании «правила произведения» и знакомства с определением чисел сочетаний. Действительно: буква «о» может стоять на любом из шести мест, для буквы «а» (когда «о» уже поставлена) имеется $C_5 в квадрате =10$ вариантов, на оставшихся трех местах располагаются буквы «б». Кстати говоря, тот, кто проведет подобное рассуждение, может увидеть, что если вначале выбирать три места для букв «б», то всего вариантов $C_6 в кубе умножить на 3,$ так что $3C_6 в кубе =6C_5 в квадрате .$ Полученное равенство является частным случаем доказываемого аналогичным образом тождества $kC_n в степени k =nC_n минус 1 в степени левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка ,$ используемого в следующем пункте.

Ответ: 60.

б)  Имеем:

$\sum_k=1 в степени n kC_n в степени k =n\sum_k=1 в степени n дробь: числитель: k, знаменатель: n конец дроби C_n в степени k = n\sum_k=1 в степени n C_n минус 1 в степени левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка =n умножить на 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка .$

Другое рассуждение основано на идее производящих функций. Пусть $P левая круглая скобка x правая круглая скобка =\sum_k=0 в степени n C_n в степени k x в степени k ,$ тогда $P в степени prime левая круглая скобка x правая круглая скобка = \sum_k=1 в степени n kC_n в степени левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка x в степени левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка ,$ так что $P в степени prime левая круглая скобка 1 правая круглая скобка = \sum_k=1 в степени n kC_n в степени левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка .$ С другой стороны, $P левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка 1 плюс x правая круглая скобка в степени n ,$ $P в степени prime левая круглая скобка x правая круглая скобка =n левая круглая скобка 1 плюс x правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка ,$ поэтому $P в степени prime левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =n умножить на 2 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка$ !

в)  В решении используются лишь простейшие понятия теории вероятности. Вероятность того, что оба раза выпал герб, равна $p в квадрате ,$ вероятность выпадания двух решек $левая круглая скобка 1 минус p правая круглая скобка в квадрате .$ Значит, вероятность того, что первый игрок выиграет, равна

$p в квадрате плюс левая круглая скобка 1 минус p правая круглая скобка в квадрате =2p в квадрате минус 2p плюс 1=2\bigl левая круглая скобка p минус \tfrac12\bigr правая круглая скобка в квадрате плюс \tfrac12 больше \tfrac12,$

тем самым при любых $p не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ чаще будет выигрывать он.

Ответ: $p не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Критерии проверки:

За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок:
+ (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов)
Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Критерии оценивания выполнения заданий Баллы

Верное и полное выполнение задания 3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет 2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка 1
Остальные случаи 0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.
Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	979	60. $p не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Ключ