PDF-версии: 
а) Докажите, что уравнение 
имеет два различных действительных корня, если 
Верно ли обратное утверждение?
б) Решите уравнение 
в) Изобразите на плоскости множество всех таких пар 
действительных чисел, что функция 
монотонна на всей числовой прямой.
г) Абсциссы двух точек пересечения некоторой прямой с графиком функции 
равны 
и 
Найдите абсциссы остальных точек пересечения.
Решение. а) Пусть
Так как 
то 
значит, парабола, являющаяся графиком функции p, пересечет ось абсцисс в двух разных точках. Обратное утверждение неверно, пример — на рисунке.
б) Из цепочки
следует, что 
и 
или 
Ответ: 
в) На рисунке изображено множество пар
заданное неравенством 
так как производная 
данной функции должна сохранять знак на всей оси.
Ответ: см. рисунок.
г) Абсциссы точек пересечения прямой 
с графиком функции являются корнями уравнения
следовательно, их сумма равна нулю.
Ответ: 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
см. рисунок. см. рисунок. 
имеет решения при любых целых k.
получим неравенство 
которое можно решить стандартным методом, однако с некоторой целью построим график функции, заданной формулой 
(см. рисунок). Ясно, что неравенство 
выполняется при 
значит, 
приводит к неравенству 
или 
где 
(см. пункт а)). Из графика функции f (см. рисунок) получаем, что 
или 
или 
откуда и следует ответ.
получим уравнение 
или 
Множеством значений 
при 
является объединение лучей 
(см. рис.), которое содержит все целые числа.
так как 
а 
получим формулу Виета, поскольку нетрудно видеть, что 
Поэтому значения 
удовлетворяют условию, однако проведенное рассуждение не дает ответа на вопрос, существуют ли другие такие пары A, B (см. следующий пункт).
Следовательно, 
и
то, подставляя во второе уравнение, получаем, что 
значит, 
и 
Из последнего уравнения следует, что 
и 
