РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 27 № 964 Добавить в вариант

а)  Докажите, что уравнение $ax в квадрате плюс bx плюс c=0$ имеет два различных действительных корня, если $a левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка меньше 0.$ Верно ли обратное утверждение?

б)  Решите уравнение $синус в степени левая круглая скобка 19 правая круглая скобка левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка плюс косинус в степени левая круглая скобка 92 правая круглая скобка левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка =1.$

в)  Изобразите на плоскости множество всех таких пар $левая круглая скобка a; b правая круглая скобка$ действительных чисел, что функция $y=a синус x минус bx$ монотонна на всей числовой прямой.

г)  Абсциссы двух точек пересечения некоторой прямой с графиком функции $y=x в кубе минус 19x плюс 92$ равны $x_1$ и $x_2.$ Найдите абсциссы остальных точек пересечения.

Спрятать решение

Решение.

а)  Пусть $p левая круглая скобка x правая круглая скобка =ax в квадрате плюс bx плюс c.$ Так как $a плюс b плюс c=p левая круглая скобка 1 правая круглая скобка ,$ то $ap левая круглая скобка 1 правая круглая скобка меньше 0,$ значит, парабола, являющаяся графиком функции p, пересечет ось абсцисс в двух разных точках. Обратное утверждение неверно, пример  — на рисунке.

б)  Из цепочки

$1= синус в степени левая круглая скобка 19 правая круглая скобка левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка плюс косинус в степени левая круглая скобка 92 правая круглая скобка левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка меньше или равно синус в квадрате левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка плюс косинус в квадрате левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка =1$

следует, что $синус в степени левая круглая скобка 19 правая круглая скобка левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка = синус в квадрате левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка$ и $косинус в степени левая круглая скобка 92 правая круглая скобка левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка = косинус левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка ,$ т. е. $синус левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка =1$ или $косинус левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка =\pm1.$

Ответ: $левая фигурная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс 2k : k принадлежит \Bbb Z правая фигурная скобка .$

в)   На рисунке изображено множество пар $левая круглая скобка a, b правая круглая скобка ,$ заданное неравенством $|b|\geqslant|a|,$ так как производная $y'=a косинус x минус b$ данной функции должна сохранять знак на всей оси.

Ответ: см. рисунок.

г)   Абсциссы точек пересечения прямой $y=kx плюс b$ с графиком функции $y=x в кубе минус 19x плюс 92$ являются корнями уравнения

$x в кубе минус левая круглая скобка k плюс 19 правая круглая скобка x плюс 92 минус b=0,$

следовательно, их сумма равна нулю.

Ответ: $минус левая круглая скобка x_1 плюс x_2 правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Классификатор: Алгебра. Многочлены (делимость, Безу, Виет, бином...), Алгебра: тригонометрия. Тригонометрические уравнения, Анализ. Графики функций, уравнений, неравенств, Задачи с параметрами. Графики

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь