РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

а)  Докажите, что уравнение $ax в квадрате плюс bx плюс c=0$ имеет два различных действительных корня, если $a левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка меньше 0.$ Верно ли обратное утверждение?

б)  Решите уравнение $синус в степени левая круглая скобка 19 правая круглая скобка левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка плюс косинус в степени левая круглая скобка 92 правая круглая скобка левая круглая скобка Пи x правая круглая скобка =1.$

в)  Изобразите на плоскости множество всех таких пар $левая круглая скобка a; b правая круглая скобка$ действительных чисел, что функция $y=a синус x минус bx$ монотонна на всей числовой прямой.

г)  Абсциссы двух точек пересечения некоторой прямой с графиком функции $y=x в кубе минус 19x плюс 92$ равны $x_1$ и $x_2.$ Найдите абсциссы остальных точек пересечения.

Критерии проверки:

За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок:
+ (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов)
Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Критерии оценивания выполнения заданий Баллы

Верное и полное выполнение задания 3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет 2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка 1
Остальные случаи 0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.
Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	964	$левая фигурная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс 2k : k принадлежит \Bbb Z правая фигурная скобка .$ см. рисунок. $минус левая круглая скобка x_1 плюс x_2 правая круглая скобка .$

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Ключ