Из цифр 1, 3 и 5 со­став­ля­ют раз­лич­ные трех­знач­ные числа, в каж­дом из ко­то­рых все цифры раз­лич­ны. Най­ди­те сумму всех таких трех­знач­ных чисел.

В тре­уголь­ни­ке один из углов мень­ше 50°, дру­гой  — мень­ше 70°. Най­ди­те ко­си­нус тре­тье­го угла, если его синус равен

В тре­уголь­ни­ке один из углов мень­ше 40°, дру­гой  — мень­ше 80°. Най­ди­те ко­си­нус тре­тье­го угла, если его синус равен

Число за­пи­са­ли в виде не­со­кра­ти­мой дроби с на­ту­раль­ным чис­ли­те­лем и зна­ме­на­те­лем. Най­ди­те две по­след­ние цифры чис­ли­те­ля.

Число за­пи­са­ли в виде не­со­кра­ти­мой дроби с на­ту­раль­ным чис­ли­те­лем и зна­ме­на­те­лем. Най­ди­те три по­след­ние цифры чис­ли­те­ля.

В пря­мо­уголь­ни­ке ABCD на про­дол­же­нии сто­ро­ны CD за точку D от­ме­че­на точка E. Бис­сек­три­са угла ABC пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AD в точке K, а бис­сек­три­са угла ADE пе­ре­се­ка­ет про­дол­же­ние сто­ро­ны AB в точке M. Най­ди­те BC, если MK  =  8 и AB  =  3.

В пря­мо­уголь­ни­ке ABCD на про­дол­же­нии сто­ро­ны CD за точку D от­ме­че­на точка E. Бис­сек­три­са угла ABC пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AD в точке K, а бис­сек­три­са угла ADE пе­ре­се­ка­ет про­дол­же­ние сто­ро­ны AB в точке M. Най­ди­те BC, если MK  =  9 и AB  =  4.

Убы­ва­ю­щая по­сле­до­ва­тель­ность a, b, c  — гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия, а по­сле­до­ва­тель­ность   — ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия. Най­ди­те зна­ме­на­тель гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии.

Убы­ва­ю­щая по­сле­до­ва­тель­ность a, b, c  — гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия, а по­сле­до­ва­тель­ность   — ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия. Най­ди­те зна­ме­на­тель гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии.

У Юры есть не­обыч­ные часы с не­сколь­ки­ми ми­ну­та­ми стрел­ка­ми, дви­га­ю­щи­ми­ся в раз­ных на­прав­ле­ни­ях. Юра по­счи­тал, что за один час ми­нут­ные стрел­ки по­пар­но сов­па­ли 54 раза. Какое наи­боль­шее число ми­нут­ных стре­лок может быть на Юри­ных часах?

У Юры есть не­обыч­ные часы с не­сколь­ки­ми ми­ну­та­ми стрел­ка­ми, дви­га­ю­щи­ми­ся в раз­ных на­прав­ле­ни­ях. Юра по­счи­тал, что за один час ми­нут­ные стрел­ки по­пар­но сов­па­ли ровно 54 раза. Какое наи­мень­шее число ми­нут­ных стре­лок может быть на Юри­ных часах?

Двое про­во­дят время за игрой: по оче­ре­ди на­зы­ва­ют не пре­вос­хо­дя­щие 100 про­стые числа так, чтобы по­след­няя цифра числа, на­зван­но­го одним иг­ро­ком, была равна пер­вой цифре числа, ко­то­рое сле­ду­ю­щим ходом на­зы­ва­ет вто­рой (кроме са­мо­го пер­во­го про­сто­го числа, на­зван­но­го в игре). По­вто­рять уже на­зван­ные ранее числа нель­зя. Про­иг­ры­ва­ет тот, кто не может на­звать по этим пра­ви­лам оче­ред­ное про­стое число. До­ка­жи­те что один из иг­ро­ков может дей­ство­вать так, чтобы га­ран­ти­ро­ван­но обес­пе­чить себе вы­иг­рыш, и най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное ко­ли­че­ство про­стых чисел, ко­то­рые будут ис­поль­зо­ва­ны обо­и­ми иг­ро­ка­ми в такой игре.

Двое про­во­дят время за игрой: по оче­ре­ди на­зы­ва­ют не пре­вос­хо­дя­щие 100 про­стые числа так, чтобы по­след­няя цифра числа, на­зван­но­го одним иг­ро­ком, была равна пер­вой цифре числа, ко­то­рое сле­ду­ю­щим ходом на­зы­ва­ет вто­рой (кроме са­мо­го пер­во­го про­сто­го числа, на­зван­но­го в игре). По­вто­рять уже на­зван­ные ранее числа нель­зя. Про­иг­ры­ва­ет тот, кто не может на­звать по этим пра­ви­лам оче­ред­ное про­стое число. До­ка­жи­те что один из иг­ро­ков может дей­ство­вать так, чтобы га­ран­ти­ро­ван­но обес­пе­чить себе вы­иг­рыш, и най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное ко­ли­че­ство про­стых чисел, ко­то­рые этот срок на­зо­вет в такой игре.

Сколь­ки­ми спо­со­ба­ми можно раз­ме­стить во­семь из де­вя­ти цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 в таб­ли­це (4 стро­ки, 2 столб­ца) так, чтобы сумма цифр в каж­дой стро­ке, на­чи­ная со вто­рой, была на 1 боль­ше, чем в преды­ду­щей?

Сколь­ки­ми спо­со­ба­ми можно раз­ме­стить во­семь из де­вя­ти цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 в таб­ли­це (4 стро­ки, 2 столб­ца) так, чтобы сумма цифр в каж­дой стро­ке, на­чи­ная со вто­рой, была на 2 боль­ше, чем в преды­ду­щей?

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом в точке K. На их общей внут­рен­ней ка­са­тель­ной от­ме­че­на точка P таким об­ра­зом, что KP  =  14. Через точку P к окруж­но­стям про­ве­де­ны две се­ку­щие, при­чем одна из них вы­се­ка­ет на пер­вой окруж­но­сти хорду AB  =  45, а дру­гая  — на вто­рой окруж­но­сти хорду CD  =  21, при­чем точка A лежит между точ­ка­ми B и P, а точка C  — между точ­ка­ми D и P. Най­ди­те от­но­ше­ние BC : AD.

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом в точке K. На их общей внут­рен­ней ка­са­тель­ной от­ме­че­на точка P таким об­ра­зом, что KP  =  18. Через точку P к окруж­но­стям про­ве­де­ны две се­ку­щие, при­чем одна из них вы­се­ка­ет на пер­вой окруж­но­сти хорду AB  =  48, а дру­гая  — на вто­рой окруж­но­сти хорду CD  =  27, при­чем точка A лежит между точ­ка­ми B и P, а точка C  — между точ­ка­ми D и P. Най­ди­те от­но­ше­ние BC : AD.

Про раз­лич­ные на­ту­раль­ные числа k, l, m, n из­вест­но, что най­дут­ся такие три на­ту­раль­ных числа a, b, c, что каж­дое из чисел k, l, m, n яв­ля­ет­ся кор­нем или урав­не­ния или урав­не­ния Най­ди­те k² + l² + m² + n².

Про раз­лич­ные на­ту­раль­ные числа k, l, m, n из­вест­но, что най­дут­ся такие три на­ту­раль­ных числа a, b, c, что каж­дое из чисел k, l, m, n яв­ля­ет­ся кор­нем или урав­не­ния или урав­не­ния Най­ди­те k² + l² + m² + n².

По­сле­до­ва­тель­ность {x_n} за­да­на усло­ви­я­ми Най­ди­те x₂₀₁₈.