РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Поиск
?

в условии в решении в тексте к заданию в атрибутах
Скопировать ссылку на результаты поиска
Класс: 10 11 5 6 7 8 9
Атрибут

Всего: 88 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–88

Добавить в вариант

Тип 0 № 7034 Добавить в вариант

Дано натуральное число $n больше 1.$ Что больше: количество способов разрезать клетчатый квадрат $3n \times 3n$ на клетчатые прямоугольники $1\times 3$ или количество способов разрезать клетчатый квадрат $2n \times 2n$ на клетчатые прямоугольники $1\times 2?$

Решение.

Дадим конструкцию отображения, каждому разбиению доски $2 n \times 2 n$ на доминошки сопоставляющего разбиение доски $3 n \times 3 n$ на триминошки.

Предположим, что задано некоторое разбиение доски $2 n \times 2 n$ на доминошки. Пронумеруем все вертикали числами от 1 до $2 n$ и все горизонтали числами от 1 до $2 n.$ Сделает n горизонтальных разрезов через горизонтали с четным номером и n вертикальных разрезов через вертикали с четным номером. Получится доска $3 n \times 3 n$ (правда, разбитая на неравные клетки, но ничего страшного), далее её будем называть новой доской. Каждая отдельная клетка старой доски стала либо одной, либо двумя, либо четырьмя клетками новой (если соответственно нуль, одна или обе координаты старой клетки были четными числами). Доминошки после этой операции становятся либо триминошками, либо прямоугольниками $2 \times 3 .$ Так вот, разрежем каждый из этих прямоугольников $2 \times 3$ на две триминошки. Получим, наконец, некоторое разбиение доски $3 n \times 3 n$ на триминошки.

Докажем, что при этом из разных разбиений на доминошки получаются разные разбиения на триминошки. Предположим противное: пусть два различных разрезания на доминошки доски $2 n \times 2 n$ при построенном отображении становятся одним разрезанием на триминошки доски $3 n \times 3 n.$ Поскольку разрезания на доминошки различны, существует клетка A доски $2 n \times 2 n,$ накрытая в этих разрезаниях доминошками по-разному. Но тогда после нашей операции то, во что превратится клетка A, т. е. 1, 2, или 4 клеточки, будет накрыто триминошками по-разному. Значит, и разрезания на триминошки разные, что противоречит предположению.

Тем самым, мы доказали, что разрезаний на триминошки не меньше, чем разрезаний на доминошки. Осталось предъявить хотя бы одно разрезание $3 n \times 3 n$ на триминошки, которое не получается из разрезания $2 n \times 2 n$ на доминошки. Проверьте, что подойдет любое разбиение на триминошки, в котором к правому нижнему углу, (т. е. образованному последними строкой и столбцом), примыкает горизонтальная триминошка, а на ней стоят три вертикальные (пример см. на рисунке справа).

Ответ: больше число разбиений на триминошки.

Решение · Помощь

Тип 0 № 7061 Добавить в вариант

Клетчатый прямоугольник размера 7 × 14 разрезали по линиям сетки на квадраты 2 × 2 и уголки из трёх клеток. Могло ли квадратов получиться

а)  [1] столько же, сколько уголков;

б)  [3] больше, чем уголков?

Решение · Помощь

Тип 0 № 7235 Добавить в вариант

Внутри выпуклого 100-угольника расположено n точек так, что никакие три из этих $n плюс 100$ точек не лежат на одной прямой. Многоугольник разрезается на треугольники, вершинами каждого из которых являются 3 из данных $n плюс 100$ точек. При каких значениях n не может получиться более 500 треугольников ?

Аналоги к заданию № 4543: 4544 7235 Все

Решение · Прототип задания · Помощь

Тип 0 № 7410 Добавить в вариант

Рассматриваются всевозможные разбиения шахматной доски 8 на 8 на домино из двух соседних по стороне клеток. Определить максимальное натуральное n такое, что для любого разбиения доски 8 на 8 на домино можно найти некоторый прямоугольник, составленный из n клеток доски, не содержащий ни одного домино целиком. Длины сторон прямоугольника в клетках могут равняться любым натуральным числам, начиная с единицы.

Решение.

1.  Докажем, что $n меньше или равно 4.$ Рассмотрим следующее разбиение шахматной доски 8 на 8 на домино. Разобьём доску на квадраты 2 на 2 клетки, окрасим каждый из их в красный и синий цвета в шахматном (относительно доски 4 на 4) порядке, и разобьём красные квадраты на пары горизонтальных домино, а синие  — на пары вертикальных домино. Любой прямоугольник площади больше 4 либо содержит в себе прямоугольник 1 на 5 клеток, либо прямоугольник 2 на 3 клетки. Легко убедиться в том, что для рассматриваемого разбиения прямоугольник 1 на 5 клеток, либо 2 на 3 клетки в любом месте доски содержит целиком хотя бы одно домино.

2.  Докажем, что для произвольного разбиения доски 8 на 8 на домино можно найти некоторый прямоугольник площади 4, составленный из клеток, не содержащий ни одного домино целиком. Рассмотрим домино разбиения, содержащее клетку «d4», можно, повернув при необходимости лоску, считать его горизонтальным. Подробно разберём случай, когда оно состоит из клеток «c4», «d4» второй случай, когда оно состоит из клеток «d4», «e4» аналогичен. Рассмотрим клетки «c3», «d3» и «c5», «d5». Если хотя бы одна из этих клеток, скажем «с3» (остальные случаи аналогичны), лежит в горизонтальном домино разбиения, то вертикальный прямоугольник «с2», «с3», «c4», «c5» не содержит целиком ни одного домино разбиения. Если все эти клетки лежат в вертикальных домино разбиения, то домино, содержащие «с3» и «d3» вертикальны, поэтому прямоугольник «b3», «c3», «d3», «e3» не содержит целиком ни одного домино разбиения. Заметим, что за счёт выбора клетки «d4» для начала рассуждений, обеспечивается невозможность выхода выбираемой полоски 1 на 4 за пределы доски.

Ответ: n  =  4.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 7413 Добавить в вариант

Разрежьте данную фигуру на четыре попарно различных части так, чтобы у всех этих частей был одинаковый периметр. Напомним, что фигуры считаются различными, если их нельзя совместить наложением.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 7423 Добавить в вариант

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 7448 Добавить в вариант

На шахматной доске 8 на 8 отмечены две произвольные клетки. Верно ли, что доску всегда можно разрезать по линиям сетки на две одинаковых части, каждая из которых содержит по одной отмеченной клетке?

Решение.

Сначала разделим доску двумя средними линиями сетки на 4 квадрата 4 на 4 клетки. Если отмеченные клетки лежат в разных квадратах, то разрезав доску вдоль одной из средних линий, получим требуемое разбиение. Пусть теперь обе отмеченные клетки лежат в одном квадрате 4 на 4, можно считать его левым нижним. Либо номера горизонталей отмеченных клеток, либо номера их вертикалей должны различаться. В первом случае проведём в квадрате 4 на 4 горизонтальную линию сетки АВ, относительно которой одна отмеченная клетка лежит ниже, а другая  — выше. Затем проведём в правом верхнем квадрате 4 на 4 доски горизонтальную линию сетки CD, симметричную АВ относительно центра доски. Разрез доски по линиям сетки вдоль ломаной АВCD разбивает доску на две части, симметричных относительно центра доски, следовательно, равных. По построению. каждая из них содержит по одной отмеченной клетке. Случай, когда различаются номера вертикалей отмеченных клеток, рассматривается аналогично, здесь в качестве АВ выступает разделяющая их вертикаль левого нижнего квадрата 4 на 4, а CD  — отрезок сетки, симметричный АВ относительно центра.

Ответ: да.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 7458 Добавить в вариант

Разрежьте данную фигуру на 13 одинаковых частей по линиям сетки.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 7463 Добавить в вариант

Разрежьте данную фигуру на семь одинаковых частей по линиям сетки. Достаточно привести один пример.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 7495 Добавить в вариант

Даны выпуклый многоугольник M и простое число p. Оказалось, что существует ровно p способов разбить M на равносторонние треугольники со стороной 1 и квадраты со стороной 1. Докажите, что длина одной из сторон многоугольника M равна $p минус 1.$

(Н. Белухов)

Решение.

Рис. 1. Многоугольник и его каёмка

Назовём каёмкой разбиения квадраты и треугольники, имеющие хотя бы одну общую точку с границей многоугольника M. Обозначим через M₁ многоугольник, полученный из M отбрасыванием каёмки. Сделаем несколько наблюдений о каёмке.

1)  Рассмотрим какой-нибудь угол многоугольника M. Поскольку он покрывается одним или несколькими углами правильных треугольников и квадратов, то он может быть равен 60°, 90°, 120°, 150°. Отсюда каждый внешний угол многоугольника не меньше 30°. Но сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360°. Поэтому у многоугольника M не более 12 углов, причём их может быть 12 только в случае, если все углы M равны 150°.

2)  Рассмотрим квадрат или треугольник каёмки, примыкающий к углу, сторона которого лежит на стороне многоугольника. Если это квадрат (см. рис. 2), то несложно видеть, что все оставшиеся фигуры разбиения, которые примыкают к этой стороне,  — тоже квадраты, потому что образующиеся углы 90° можно замостить только квадратом (см. рис. 3).

Рис. 2

Рис. 3

Если это треугольник (см. рис. 4), то несложно видеть, что все оставшиеся фигуры разбиения, которые примыкают к этой стороне,  — тоже треугольники, потому что образующиеся углы 120° можно замостить только двумя треугольниками (см. рис. 5).

Рис. 4

Рис. 5

Таким образом, к каждой стороне многоугольника M примыкают либо только квадраты, ли6 только треугольники.

3)  Из предыдущего пункта следует, что стороны M₁ будут параллельны соответствующим сторонам M (стороны AB и CD на рисунках). Если у M нет углов по 60° или 90°, то длины сторон M₁ будут либо равны соответствующим длинам сторон M (в случае квадратов), либо на 1 меньше (в случае треугольников). При этом длина стороны может стать равной 0. То есть M₁ выпуклый многоугольник, у которого сторон не больше, чем у M.

Назовём характеристикой многоугольника M набор чисел (a₁, a₂, ..., a₁₂), построенный следующим образом. Еcли $M минус 12$ -угольник, то это длины сторон M, перечисленные в порядке обхода против часовой стрелки. Если у M меньше 12 сторон, то не все его углы равны 150°. Мысленно добавим несколько сторон нулевой длины: если есть угол 120°, то добавим в соответствующую вершину сторону нулевой длины, если есть угол 90°, то добавим в соответствующую вершину две последовательные стороны нулевой длины, если есть угол 60°  — три последовательные стороны нулевой длины. Несложно проверить, что в итоге получится 12 сторон, некоторые из которых равны 0. Стороны a₁, a₃, ..., a₁₁ будем называть нечётными, а стороны a₂, a₄, ..., a₁₂  — чётными.

Многоугольнику M₁ можно поставить в соответствие набор, построенный по тем же правилам, так, чтобы нумерации сторон в M и M₁ соответствовали друг другу. Посмотрим, как могут быть связаны характеристики M и M₁.

Рис. 6

1)  Пусть длины сторон M отличны от нуля. Тогда все углы M равны 150°. Заметим, что существует два варианта расположить квадрат и треугольник, примыкающие к углу 150° (см. рис. 6).

При выборе одного из вариантов остальная каёмка восстанавливается однозначно. Действительно, сначала восстанавливается часть каёмки, примыкающая к сторонам угла, затем разбиения двух соседних углов и т. д.

Рис. 7. Два варианта каёмки

Итого получается два варианта каёмки: равносторонние треугольники расположены вдоль всех нечётных сторон, а квадраты  — вдоль всех чётных; или наоборот. В первом варианте характеристикой M₁ будет набор

$левая круглая скобка a_1 минус 1, a_2, a_3 минус 1, a_4, \ldots, a_11 минус 1, a_12 правая круглая скобка ,$

а во втором  — набор

$левая круглая скобка a_1, a_2 минус 1, a_3, a_4 минус 1, \ldots, a_11, a_12 минус 1 правая круглая скобка .$

2)  Пусть по крайней мере одна нечётная сторона M равна нулю, а все чётные стороны отличны от нуля. Рассмотрим i такое, что $a_i=0.$ Тогда угол при соответствующей вершине в многоугольнике M будет равен 120° (поскольку $a_i минус 1$ и $a_i плюс 1$ не равны 0), то есть его единственным образом можно разбить на два равносторонних треугольника. Далее каёмка восстанавливается однозначно. Действительно, достаточно возле всех сторон с нечётными номерами и ненулевой длиной разместить равносторонние треугольники, а возле сторон с чётными номерами и ненулевой длиной квадраты. Получаем, что характеристика $M_1$ будет равна

$левая круглая скобка a_1, a_2 минус 1, a_3, a_4 минус 1, \ldots, a_11, a_12 минус 1 правая круглая скобка .$

3)  Пусть по крайней мере одна чётная сторона M равна нулю, а все нечётные стороны отличны от нуля. Аналогично получаем, что характеристика $M_1$ будет равна

$левая круглая скобка a_1 минус 1, a_2, a_3 минус 1, a_4, \ldots, a_11 минус 1, a_12 правая круглая скобка .$

4)  Пусть по крайней мере одна чётная и одна нечётная стороны M равны нулю. Поскольку все ненулевые стороны M₁ параллельны соответствующим сторонам M и имеют такую же или меньшую длину, то по крайней мере одна чётная и одна нечётная стороны M₁ равны нулю.

Отметим, что если по крайней мере одна чётная и одна нечётная стороны M равны нулю, то существует не более одного способа разбить M нужным образом. Действительно, тогда у M найдётся угол, меньший 150°, разбиение которого восстанавливается однозначно. Далее каёмка восстанавливается не более чем одним способом. У многоугольника, полученного отбрасыванием каёмки, каёмка снова восстанавливается не более чем одним способом и т. д.

Обозначим

$x=\min левая фигурная скобка a_1, a_3, \ldots, a_11 правая фигурная скобка ,$ $y=\min левая фигурная скобка a_2, a_4, \ldots, a_12 правая фигурная скобка .$

Одно из чисел x или y отлично от нуля, иначе M можно разбить не более чем одним способом. Выделим у многоугольника M каёмку, уменьшающую либо чётные, либо нечётные стороны M (если одно из чисел x или y равно 0, то каёмку можно выбрать единственным способом). Уберём каёмку, останется многоугольник M₁. Выделим какую-нибудь каёмку многоугольника M₁, уберём её и обозначим оставшийся многоугольник через M₂. Будем продолжать так до тех пор, пока хотя бы одна чётная и хотя бы одна нечётная стороны не станут равны нулю. В этот момент характеристика многоугольника будет равна

$левая круглая скобка a_1 минус x, a_2 минус y, a_3 минус x, a_4 минус y, \ldots, a_11 минус x, a_12 минус y правая круглая скобка .$

Оставшийся многоугольник $M_x плюс y$ не зависит от того, какие именно каёмки были выбраны на предыдущих шагах, поскольку характеристика задаёт не более чем один многоугольник. Поэтому если $M_x плюс y$ нельзя разбить на правильные треугольники и квадраты, то и для M не существует соответствующего разбиения. Следовательно, $M_x плюс y$ можно разбить единственным образом, то есть количество разбиений M равно количеству способов уменьшить оба числа x и y до 0, то есть $C_x плюс y в степени левая круглая скобка y правая круглая скобка .$

По условию задачи $C_x плюс y в степени левая круглая скобка y правая круглая скобка =p,$ где $p минус$ простое число. Докажем, что это может быть только в случае $x плюс y=p$ и $y=1.$ Заметим, что $x плюс y больше или равно p,$ поскольку иначе $C_x плюс y в степени левая круглая скобка y правая круглая скобка$ не может делиться на p. Также x и y отличны от нуля, так как иначе $C_x плюс y в степени левая круглая скобка y правая круглая скобка =1.$ Тогда

$C_x плюс y в степени левая круглая скобка y правая круглая скобка больше или равно C_x плюс y в степени левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =x плюс y больше или равно p .$

Нетрудно видеть, что равенство достигается только при $x=1, y=p минус 1$ либо наоборот. В обоих случаях одно из чисел a₁, a₂, ..., a₁₂ равно $p минус 1,$ что и требовалось доказать.

Решение · Помощь

Тип 21 № 7586 Добавить в вариант

Докажите, что для каждого натурального $n больше или равно 5$ квадрат можно разрезать на n прямоугольников (не обязательно одинаковых), у каждого из которых одна сторона вдвое больше другой. Резать разрешается по линиям, параллельным сторонам исходного квадрата.

Решение · Помощь

Тип 0 № 8080 Добавить в вариант

Некто разрезал квадрат на тетрамино, причём все пять видов тетрамино (см. рисунок) оказались использованы одинаковое количество раз. Какова минимально возможная сторона квадрата?

(И. М. Туманова)

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 8196 Добавить в вариант

При каких натуральных n клетчатую доску n × n можно разрезать на квадраты 1 × 1 и 2 × 2 так, что квадратов разных размеров будет поровну.

Критерии проверки:

Общая схема:

0 баллов  — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;

1 балл  — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);

2 балла  — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;

3 балла  — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;

4 балла  — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.

Факторы, влияющие на оценку.

1.  Одна из основных целей Олимпиады  — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.

2.  Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.

3.  Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.

4.  Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.

5.  Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется

а)  до 1 балла, если это предположение можно доказать;

б)  до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;

в)  0 баллов, если оно противоречит условию.

6.  Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 8332 Добавить в вариант

Через каждую пару противоположных рёбер куба проведена плоскость. На сколько частей эти плоскости разбивают куб?

Критерии	Оценка	Баллы
Задача решена полностью	+	10
Есть значительное продвижение в доказательстве ответа, но есть и пробелы в рассуждении	±	8
Есть попытка доказательства и/или только правильный чертёж	+/2	4
Приведён верный ответ без каких-либо обоснований	∓	2

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 8351 Добавить в вариант

Через каждые три несмежные вершины куба проведена плоскость. На сколько частей эти плоскости разбивают куб?

Критерии	Оценка	Баллы
Задача решена полностью	+	10
Есть значительное продвижение в доказательстве ответа, но есть и пробелы в рассуждении	±	8
Есть попытка доказательства и/или только правильный чертёж	+/2	4
Приведён верный ответ без каких-либо обоснований	∓	2

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 8499 Добавить в вариант

Квадрат разрезан на красные и синие прямоугольники. Сумма площадей красных прямоугольников равна сумме площадей синих. Для каждого синего прямоугольника запишем отношение длины его вертикальной стороны к длине горизонтальной, а для каждого красного прямоугольника  — отношение длины его горизонтальной стороны к длине вертикальной. Найдите наименьшее возможное значение суммы всех записанных чисел.

Решение · Помощь

Тип 0 № 8856 Добавить в вариант

Сто клетчатых фанерных прямоугольников 6 × 7 распилили по клеточкам на куски, и из всех этих кусков составили несколько несколько фигурок вида

Найдите, при каком наименьшем числе кусков это возможно сделать, если куски можно поворачивать и переворачивать (фигурка может быть составлена из любого числа кусков, в том числе, из одного).

(А. Храбров)

Решение · Помощь

Тип 21 № 9210 Добавить в вариант

Дан остроугольный неравнобедренный треугольник. Одним действием разрешено разрезать один из имеющихся треугольников по медиане на два треугольника. Могут ли через несколько действий все треугольники оказаться равнобедренными?

(Е. Бакаев)

Критерии проверки:

Критерий	Оценка
Только верный ответ	−
Доказано только, что если неравнобедренный треугольник разбивается медианой на два равнобедренных, то он прямоугольный	−.
Только сформулировано, что «после каждого хода хотя бы один из треугольников будет тупоугольным неравнобедренным» или что «после каждого хода хотя бы один из треугольников будет непрямоугольным неравнобедренным»	∓

Как ставились оценки:

—  «+» ставится за любое правильное решение;

—  «±» ставится за решение с существенным, но легко восполнимым пробелом;

—  «∓» ставится за неверное решение, однако с существенным продвижением;

—  «–» ставится за неверное решение;

—  «0» ставится, если задача не записана;

—  «+.», «–.» (варианты «+», «–») ставятся в случае менее существенных недостатков (продвижений), чем в случае «+ –» и «–+»;

—  «+/2» ставится в отдельных случаях, когда в тексте присутствует правильная идея, недостаточно развитая, чтобы считать задачу решенной. Эта оценка ставится и в том случае, если задача естественно распадается на две половины, из которых одна решена.

Если жюри хочет обратить внимание на необычное достижение учащегося (краткость, красота, усиление результата и т. п.),  — это отмечается знаком «+!».

При массовой проверке работ возникают типичные случаи, в которых требуются уточнения, считать ли недостаток (продвижение) существенным. Эти случаи описаны для каждого конкретного задания.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 21 № 9341 Добавить в вариант

Прямоугольник разбит прямыми, параллельными его сторонам на некоторое количество маленьких прямоугольников. У каждого маленького прямоугольника длины сторон выражаются целыми числами, при этом длина хотя бы одной его стороны чётна. Докажите, что длина хотя бы стороны исходного прямоугольника также является чётным числом.

Решение.

На рисунке изображен исходный прямоугольник ABCD, разбитый на маленькие прямоугольники. Предположим, что путник, находящийся сейчас в вершине A, хочет добраться или до стороны BC, или до стороны CD (до какой получится раньше  — путнику все равно). При этом ему разрешается двигаться только:

—  по сторонам маленьких прямоугольников;

—  только вниз (в) или вправо (п);

—  только по сторонам, имеющим четную длину (у каждого прямоугольника хоть одна сторона четная, поэтому путнику всегда будет куда пойти).

На рисунке путник добрался до стороны CD по траектории пввппв (за один ход путник смещается вниз или вправо на расстояние, не менее 1, а значит, рано или поздно, цели своего путешествия он достигнет). Ясно, что длина стороны AD равна сумме длин всех отрезков в его траектории. Каждый такой отрезок четен, а значит и длина стороны AD четна. Аналогично доказывается четность длины стороны AB в случае, если путник прежде достиг стороны BC. Утверждение доказано.

Решение · Помощь

Тип 21 № 9389 Добавить в вариант

Правильный 100-угольник разрезали на несколько параллелограммов и два треугольника. Докажите, что эти треугольники равны.

(А. Юран)

Решение.

Рис. 1

Для каждой фигуры  — параллелограмма и треугольника  — рассмотрим все вершины фигур на границе. Для каждой фигуры проведём между соседними точками на границе векторы так, чтобы их направление соответствовало обходу границы фигуры против часовой стрелки.

Рассмотрим произвольную прямую ℓ и все векторы, параллельные ей. Сумма этих векторов равна нулю. Действительно, к каждой линии разреза, параллельной ℓ, примыкают наборы противоположных векторов. Если ℓ параллельна сторонам 100-угольника, то сумма векторов, соответствующих противоположным сторонам 100-угольника, также равна нулю, так как они будут направлены в противоположные стороны и равны по длине. С другой стороны, в каждом параллелограмме сумма векторов, соответствующих противоположным сторонам, равна нулю. Следовательно, и в двух треугольниках сумма всех векторов, параллельных ℓ, также будет нулевой.

Выберем в качестве ℓ прямую, параллельную какой-нибудь из сторон первого треугольника. Получим, что набор векторов второго треугольника, параллельных ℓ  — это векторы, противоположные векторам первого треугольника. Аналогично для двух других сторон. Поэтому для каждой стороны первого треугольника существует параллельная и равная ей по длине сторона второго треугольника. Следовательно, треугольники равны.

Рис. 2

Замечание.

Разрезания из условия существуют, причём они могут быть устроены достаточно несимметричным образом (например, не обязательно все стороны треугольников параллельны сторонам 100-угольника, треугольники не обязательно: образуют параллелограмм, примыкают к сторонам 100-угольника, симметричны относительно центра 100-угольника). На рисунке 2 приведён пример разрезания 10-угольника.

Решение · Критерии · Помощь

Всего: 88 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–88