Всего: 88 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–88
Добавить в вариант
Чтобы найти минимальную общую площадь квадратика и 4 прямоугольников с такими сторонами, воспользуемся широко известным «транснеравенством», которое, в частности, утверждает, что для любых чисел 
и 
минимум сумм вида 
то есть когда каждое 
требуемым в условии способом, длины сторон соответствующих прямоугольников указаны цифрами на рисунке (см. нижний рис.). 
получается из данного расширением квадрата и 3 прямоугольников вправо и вниз на 
клеток. Все размеры при этом останутся различными, так как одинаково увеличиваться будут длины, равные 6, 7, 8 и 9, которые и так уже больше остающихся неизменными длин 2, 3, 4 и 5.
3 балла. Способ разрезания для 
ещё 2 балла. Отсутствие обоснования того, что минимальная площадь квадратика и 4 прямоугольников равна 
квадратов. Ясно, что на 4 квадрата разрезать можно. Далее, никакие две вершины исходного квадрата не могут быть вершинами одного и того же квадратика, поэтому разрезание на 3 квадрата невозможно. Невозможно также разрезать квадрат на 5 квадратов (попробуйте найти наиболее экономный способ это доказать).В клетках таблицы 9 на 9 некоторым образом расставлены все натуральные числа от 1 до 81 включительно, по одному в клетке. Разрешается выбрать квадрат произвольного размера, стороны которого идут по линиям сетки и спросить, каково множество чисел, записанных во всех клетках указанного квадрата. За какое наименьшее число таких вопросов всегда можно полностью восстановить расстановку чисел во всех клетках квадрата 9 на 9?
Прямоугольник 17 на 19 клеток произвольным образом разбит отрезками, идущими по линиям сетки, на меньшие прямоугольники. Доказать, что найдётся прямоугольник разбиения, все четыре расстояния (измеряемые в клетках) от каждой стороны которого до ближайшей стороны большого прямоугольника имеют одну и ту же чётность.
На доске 10 на 10 часть клеток отмечена, причём никакие три отмеченные клетки не образуют уголок. Доказать, что доску можно разбить на домино из двух соседних по стороне клеток, содержащие не более одной отмеченной клетки каждое.
(в натуральных числах). Далее, 
—
на простые множители получаем систему уравнений 
Решением этой системы в натуральных числах является единственная пара 
Триангуляцией многоугольника называется разбиением многоугольника на треугольники таким образом, чтобы вершины треугольников совпадали с вершинами многогранника. Сколько существует способов триангулировать выпуклый семиугольник?
а для четырехугольника существует ровно две 
включая вырожденный случай двуугольника) 
-угольник.
считая, что 
В прямоугольном спичечном коробке размерами 1 × 2 × 3 см сидит муравей, и есть сахарная крошка. Если ввести систему координат с осями, параллельными ребрам коробка так, чтобы одна вершина коробка находилась в начале координат, а вторая в точке с координатами (10 мм, 20 мм, 30 мм), то муравей будет сидеть в точке с координатами (1 мм, 2 мм, 0 мм), а крошка будет в точке с координатами (9 мм, 3 мм, 30 мм). Каково кратчайшее расстояние, которое муравью придется проползти до сахарной крошки, если он может двигаться только по поверхности коробка?
мм
откуда находим его длину 
мм.
метров разрезали, например, на части с длинами 0,995 м и 23,995 м, то получить требуемые куски нельзя. В самом деле, из куска 0,995 м невозможно вырезать ни одного требуемого куска, а из куска 23,995 м это сделать не получится, поскольку сумма длин 
больше 23,995.Дан квадрат 7 × 7 (сторона клетки равна 1). Клетчатой фигуркой назовем многоугольник, составленный из клеток.
а) Можно ли его разбить на 12 клетчатых фигурок, периметры которых одинаковы?
б) Можно ли его разбить на 13 клетчатых фигурок, периметры которых одинаковы?
поэтому среди фигурок найдется хотя бы одна площади не больше, чем 3. 
и 
(второе уравнение следует из сравнения площадей). Эта систем а уравнений имеет единственное решение 
и 
и 
имеет решение 
и 
Поэтому нужно задействовать ровно одну фигурку пентамино, и 11 тетрамино, причем нельзя использовать квадраты 2 × 2.Дан равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами, равными 
Найдите прямолинейный разрез наименьшей длины, который делит площадь треугольника пополам.
В ответе укажите длину разреза, округленную до 2 десятичных цифр после запятой.
и 
Тогда 
и 
Тогда 
то есть 
По теореме косинусов 
(четыре квадратика примыкают по стороне к пятому). Можно ли из шахматной доски 
вырезать, не обязательно по клеткам, девять таких крестов?
(их суммарная площадь равна 8) и четырёх «уголков». Каждый уголок целиком лежит в фигуре, состоящей из половинки прямоугольника 
что меньше 64. Значит, сторона квадрата меньше 8, и его можно уместить на шахматную доску — а с ним и 9 крестов.
откуда 
При этом, как несложно проверить, они имеют разный размер. Во втором случае все 4 прямоугольника будут подобны исходному, если 
При этом они, опять же, имеют разный размер.
и разобьём его на 4 прямоугольника указанным способом. Выберем меньший из них и разобьём таким же способом, и т. д. После каждого разбиения все прямоугольники имеют разный размер, так как мы разбиваем наименьший. После 33 разбиений мы получим 100 прямоугольников, что и требовалось. 100 прямоугольников, что и требовалось.Сто клетчатых фанерных прямоугольников 5 × 6 распилили по клеточкам на куски, и из всех этих кусков составили несколько квадратов 2 × 2 и несколько фигурок вида
Найдите, при каком наименьшем числе кусков это возможно сделать, если куски можно поворачивать и переворачивать.
(А. Храбров)
(его площадь равна 30) разрезан не менее чем на 8 кусков и тогда суммарное число кусков не меньше 800. 
так, чтобы потом складывать 12-клеточные «рамки», то можно обойтись восемью частями, из которых складываются четыре рамки.
придется распилить еше как минимум на две части, поэтому общее количество частей будет не меньше девяти (на самом деле ровно девять, поскольку каждый квадратик можно распилить на две доминошки, а из дозиношек летко собирается еше одна рамка). 
Хозяйка испекла квадратный торт и отрезала от него несколько кусков. Первый разрез проведён параллельно стороне исходного квадрата от края до края. Следующий разрез проведён в оставшейся части от края до края перпендикулярно предыдущему разрезу, далее аналогично (сколько-то раз). Все отрезанные куски имеют равную площадь. Может ли оставшаяся часть торта быть квадратом?
ширина остатка и отрезанного куска равна соответственно 
и 
положим также 
и 
равными стороне исходного квадрата). Пусть при всех 
было 
Имеем 
Площади i-го и 
-го кусков одинаковы по условию, т. е. 
(**). С другой стороны, 
и 
получаем: 
ч. т. д.