По­ка­жем, что схема раз­ре­за­ния долж­на вы­гля­деть, как по­ка­за­но на левом ри­сун­ке (за­ме­тим, что в ре­ше­нии это до­ка­за­тель­ство не обя­за­тель­но, до­ста­точ­но про­сто ука­зать саму схему!) (см. рис.).

Дей­стви­тель­но, если квад­ра­тик будет при­ле­гать к сто­ро­не или вер­ши­не квад­ра­та, то рядом с ним будут два или один пря­мо­уголь­ни­ка с боль­ши­ми, чем 1 сто­ро­на­ми (см. цен­траль­ный и пра­вый ри­сун­ки), и к сто­ро­не квад­ра­ти­ка, не при­ле­га­ю­щей к этим пря­мо­уголь­ни­кам и сто­ро­нам квад­ра­та, ничто с боль­ши­ми, по усло­вию, сто­ро­на­ми при­ле­гать не может.

После этого за­ме­тим, что каж­дая вер­ши­на квад­ра­та со­дер­жит­ся в своём пря­мо­уголь­ни­ке раз­би­е­ния. В про­тив­ном слу­чае одна из сто­рон од­но­го из пря­мо­уголь­ни­ков сов­па­да­ет со сто­ро­ной квад­ра­та, а вто­рая его сто­ро­на мень­ше, от­ре­зав его, мы по­лу­чим раз­би­е­ние остав­ше­го­ся пря­мо­уголь­ни­ка на квад­ра­тик и три пря­мо­уголь­ни­ка с раз­ны­ми сто­ро­на­ми. По­вто­ряя преды­ду­щее рас­суж­де­ние по­лу­чим, что квад­ра­тик снова дол­жен не при­ле­гать к сто­ро­нам остав­ше­го­ся пря­мо­уголь­ни­ка, а зна­чит, сво­и­ми че­тырь­мя сто­ро­на­ми при­ле­гать к четырём раз­ным пря­мо­уголь­ни­кам раз­би­е­ния, чего не может быть, по­сколь­ку их тут оста­лось всего три.

Из ска­зан­но­го выше сле­ду­ет, что схема раз­ре­за­ния долж­на вы­гля­деть так, как по­ка­за­но на левом ри­сун­ке:

Найдём ми­ни­маль­но воз­мож­ную пло­щадь ис­ко­мо­го квад­ра­та. Пусть длины де­вя­ти сто­рон ча­стей раз­би­е­ния в по­ряд­ке воз­рас­та­ния равны Чтобы найти ми­ни­маль­ную общую пло­щадь квад­ра­ти­ка и 4 пря­мо­уголь­ни­ков с та­ки­ми сто­ро­на­ми, вос­поль­зу­ем­ся ши­ро­ко из­вест­ным «транс­не­ра­вен­ством», ко­то­рое, в част­но­сти, утвер­жда­ет, что для любых чисел и ми­ни­мум сумм вида

где σ(1), σ(2), ..., σ(n)  — про­из­воль­ная пе­ре­ста­нов­ка чисел 1, 2, ..., n, до­сти­га­ет­ся на сумме S(σ) для то есть когда каж­дое i-ое в по­ряд­ке воз­рас­та­ния число пер­во­го мно­же­ства умно­жа­ет­ся на i-ое в по­ряд­ке убы­ва­ния число вто­ро­го мно­же­ства. От­сю­да сле­ду­ет, что ми­ни­маль­ная пло­щадь квад­ра­ти­ка и и 4 пря­мо­уголь­ни­ков равна

Сле­до­ва­тель­но, ми­ни­маль­но воз­мож­ная длина сто­ро­ны боль­шо­го квад­ра­та равна 11. Ука­жем спо­соб раз­ре­за­ния квад­ра­та со сто­ро­ной тре­бу­е­мым в усло­вии спо­со­бом, длины сто­рон со­от­вет­ству­ю­щих пря­мо­уголь­ни­ков ука­за­ны циф­ра­ми на ри­сун­ке (см. ниж­ний рис.).

Спо­соб раз­ре­за­ния для лю­бо­го на­ту­раль­но­го по­лу­ча­ет­ся из дан­но­го рас­ши­ре­ни­ем квад­ра­та и 3 пря­мо­уголь­ни­ков впра­во и вниз на кле­ток. Все раз­ме­ры при этом оста­нут­ся раз­лич­ны­ми, так как оди­на­ко­во уве­ли­чи­вать­ся будут длины, рав­ные 6, 7, 8 и 9, ко­то­рые и так уже боль­ше оста­ю­щих­ся не­из­мен­ны­ми длин 2, 3, 4 и 5.

Ответ: все