Всего: 223 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 …
Добавить в вариант
2.1 Пусть N = 2. Докажите, что фокусник гарантированно может добиться того, чтобы в итоге хотя бы один шар оказался не в своем изначальном сосуде.
Развернуть
—2.2 Пусть N = 400. Докажите, что фокусник может добиться того, чтобы гарантированно более половины шаров лежали не в своём сосуде.
Развернуть
2.3 Пусть N = 400. Какое максимально возможное количество шаров не в своём сосуде может гарантировать фокусник?
Развернуть
2.4 Пусть N = 2. Фокуснику выдали последовательность команд. Он хочет повторить её несколько раз (по своему усмотрению, но не более k раз) так, чтобы после этого гарантированно хотя бы один шар оказался своём исходном сосуде. При каком наименьшем k это возможно независимо от последовательности выданных команд?
Развернуть
раз исходную последовательность команд) мы получим цикл нечетной длины — в этот момент гарантированно хотя бы один шар окажется в родном сосуде. Ясно, что меньше, чем 32 повторениями отделаться нельзя. Например, если исходная перестановка — цикл длины 800, то его l — кратное применение даст кучу циклов 
—
четно, так что такой набор циклов вполне циклов длины 
— это число при 
делится на 
при любых целых x, y. Теперь заметим, 
где 
— применяемые трехчлены, каждый член делится на предыдущий, а значит и на самую первую разность). 3.1 Пусть сад имеет форму правильного треугольника со стороной 1. Докажите, что Георгию Константиновичу хватит ежей суммарной длиной 
Развернуть
а поскольку медианы делят друг друг в отношении 2 : 1, то суммарная длина отрезков медиан до точек пересечения равна 3.2 Пусть сад имеет форму квадрата со стороной 1. Докажите, что Георгию Константиновичу хватит ежей суммарной
Развернуть
3.3 Пусть сад имеет форму правильного треугольника со стороной 1. Докажите, что Георгию Константиновичу придется купить ежей длиной хотя бы 1,29.
Развернуть
что чуть больше, чем 1,29.3.4 Пусть сад имеет форму квадрата со стороной 1. Докажите, что Георгию Константиновичу придется купить ежей длиной более 2.
Развернуть
(например, заметив, что это 
получим что длина ежей не менее 2.1.1 Пусть сад имеет форму правильного треугольника со стороной 1. Докажите, что Георгию Константиновичу хватит /ежей суммарной длиной
Развернуть
а поскольку медианы делят друг друг в отношении 2 : 1, то суммарная длина отрезков медиан до точек пересечения равна 
и соединить ее 
хорошо известно, что в ней достигается минимум суммы длин отрезков XB, XC 1.2 Пусть сад имеет форму квадрата со стороной 1. Докажите, что Георгию Константиновичу хватит ежей суммарной
Развернуть
1.3 Пусть сад имеет форму правильного треугольника со стороной 1. Докажите, что Георгию Константиновичу придется купить ежей длиной хотя бы 1,29.
Развернуть
1.4 Пусть сад имеет форму квадрата со стороной 1. Докажите, что Георгию Константиновичу придется купить ежей длиной более 2.
Развернуть
2.1 Докажите, что если в стране любые две школы соединяет ровно одна цепочка беспосадочных маршрутов, то эта страна гармонична.
Развернуть
а вершины на пути из y в z, как 
Тогда 
при 
(при 
по максимальности, а при 
можно было бы найти цикл). Осталось заметить, что последовательность 
—
2.2 Докажите, что если страна является гармоничной, то можно назвать некоторые школы добрыми, а остальные злодейскими так, чтобы любой беспосадочный маршрут соединял добрую школу со злодейской.
Развернуть
2.3 В стране Гиперляндии 2n школ, названиями которых являются все возможные последовательности из символов 0 и 1 длины n, при этом между школами есть беспосадочный маршрут тогда и только тогда, когда их названия отличаются ровно в одном символе. Докажите, что Гиперляндия — гармоничная страна.
Развернуть
2.4 Пусть в гармоничной стране n школ, каждая из которых соединена беспосадочными маршрутами ровно с d другими. Докажите, что d < 
Развернуть
поскольку в графе не может быть треугольников. Теперь заметим, что если три таких ребра ведут из вершин u1, u2, u3 в вершину w, то медианами вершин u1, u2, и u3 будут одновременно v и w, поскольку между собой u1, u2 и u3 не соединены. Получается, что на третьем уровне не менее 
вершин (и не более, чем 
Значит, поскольку у нас нет нечетных циклов, с третьего уровня на четвертый ведет не менее 
ребер.
являются медианными. Но тогда из вершины 
есть три соседа b12, b13, b14 на втором уровне, что противоречит предыдущему абзацу. Значит, у нас есть хотя бы 
— кубический многочлен с целыми коэффициентами p, q, r, s, произвольное количество раз (при этом можно брать различные f на разных шагах).
—
и a нецелое).
—
должно делиться на 6 (из (−3, 3) получается (x, t)) и быть делителем 6 (из (x, t) получается (−3, 3)). Значит, 
не умаляя общности, можно считать 
(поменять знаки у всей четверки можно всегда). Аналогично, 
если 
то 
противоречие с тем, что 
должно быть делителем 4. Поэтому наша четвёрка имеет вид 
x, 
3.3 Верно ли, что четвёрку (1, 2, 3, 4) можно превратить в четвёрку (19999, 29999, 39999, 49999) применением только лишь квадратных трехчленов (т. е. на каждом шаге p = 0)?
Развернуть
старший коэффициент не делится на 5. Перейдем в вычеты по модулю 5, и указанный трехчлен преобразуется к виду 
(здесь всюду деление остатков по модулю 5), это значит, что он не может перевести четыре различных остатка в четыре различных, а значит и его композиция со всеми последующими трехчленами тоже не может.
очевидно, не линейная функция. 3.4 Докажите, что если четвёрку
Развернуть
не меняя значений при 
и 
и, наконец, четвертое устанавливает нужное значение в точке 
Если все три числа 
Тогда результирующая функция 
Тогда число 
— целое, как уже обсуждалось в предыдущих пунктах. Посмотрим на второе, выражение, приведя его к виду 
(при сложении одночленов интересующие нас дроби будут тоже складываться). Имеем 
