Всего: 185 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 …
Добавить в вариант
клеток требуется вырезать по линиям сетки несколько квадратов разного размера. Какое наибольшее количество квадратов можно вырезать, если: a) 
б) 
см. на рисунке.
с одной стороны останется полоса ширины не более 2, а с другой стороны — ширины не более 6. Значит, квадраты 
и 
Но после отрезания квадрата 
является квадратом целого числа.
где a — натуральное число. Так как 
не удовлетворяет уравнению, то искомое p, а значит и a, являются нечётными числа. Из равенства 
учитывая, что 
и оба множителя являются чётными числа, получаем три случая: 
и 
можно отметить (и обозначить) на плоскости точки 
так, чтобы n треугольников A1A2A3, 
Отметим вершины правильного 
-угольника
взаимно просты, то числа 
Таким образом, все вершины многоугольника будут пронумерованы. Несложно заметить, что все искомые треугольники — равнобедренные и равные между собой, поэтому они являются остроугольными.
уравнение принимает вид 
—
имеет единственное решение.
может быть единственным корнем уравнения, так как в силу четности входящих функций, для любого решения 
решением будет и (–x0). Значит, по необходимости получаем 
откуда 
или 
Проверим эти значения. При 
имеем уравнение 
у которого бесконечное множество решений 
Если же 
то уравнение 
имеет единственное решение 
При 
результат уже получен в задаче 
имеем уравнение 
при 
Таким образом, и при 
при неотрицательных x, эта функция имеет неотрицательную производную и обращается в нуль при 
б) 
рационально, является бесконечным.
и 
при некоторых рациональных числах a, b. Из данных уравнений имеем 
и 
где 
и 
Поскольку 
и 
Вычитая из первого второе, получим 
Отсюда либо 
либо 
Записав аналогичные равенства для других паруравнений, получим, что возможны только два случая: либо все числа одинаковы, либо среди них есть два, равных –1. В первом случае получим уравнение 
которое не имеет целых корней (см. также задачу 
Это уравнение имеет действительные корни при условии 
и, значит, 
Для этого преобразуем последнее выражение
значок. А с другой стороны, значков раздали не более 
штук, так как каждый ученик получил не более двух значков. Получили противоречие.Петя говорит Васе: «Я построил неравнобедренный треугольник ABC и провел биссектрисы AM и 
Оказалось, что 
где O — точка пересечения биссектрис. Сможешь ли ты определить, чему равен угол B?» Вася отвечает: «Да такого не может быть, чтобы в неравнобедренном треугольнике отрезки OM и ON оказались равными». Кто из мальчиков прав?
угол B определяется однозначно, а именно 
Более того, мы покажем, что любой неравнобедренный треугольник с углом при вершине 60° обладает этим свойством. 
Поскольку треугольник неравнобедренный, точка N не совпадает с точкой L и точка M не совпадает с точкой K. В прямоугольных треугольниках NLO и MKO выполняются равенства 
и 
поэтому эти два треугольника равны и, следовательно, 
учитывая равенство вертикальных углов 
имеем (по второму признаку равенства треугольников): 
следует, что 
В таком случае имеем: 
(где 
).
Действительно, при 
число n! делится на 16. Следовательно, сумму 
можно представить в виде 
Данное число не может быть квадратом целого числа, так как в разложении на простые множители двойка входит в нечётной степени. 
число n! делится на 9, a 4! = 24 делится на 3, но не делится на 9, поэтому число в левой части уравнения не может быть квадратом целого числа).
и 
(сопряженное к знаменателю), получим после сокращения на 
уравнение 
Далее, сократив на выражение в правой части и преобразовав точно так же, как ранее, будем иметь уравнение 
Отсюда 
то есть 
подставляя его в исходное уравнение (хотя это и несложно). Дело в том, что при наших преобразованиях было сделано домножение на сопряженное выражение, которое обращается в нуль только при 
в правой. В силу положительности правой части такое возведение в квадрат также даёт равносильное уравнение. При других способах решения, встречавшихся в работах участников, возводились в квадрат уравнения, где правая и левая части содержали функции от х (обычно, линейные). При таких способах решения уравнения получаются, вообще говоря неравносильные (они являются следствием исходного) и нет гарантии, что не получится лишних корней. Поэтому в этом случае, если участники в конце получали 
но не делали проверки, то оценка снижалась.Дана прямая на плоскости и на ней отмечено несколько (больше двух) точек. Докажите, что можно отметить еще одну точку на плоскости (вне данной прямой) так, чтобы среди всех треугольников с отмеченными вершинами было больше половины остроугольных.
где [m] — целая часть числа m. Отметим точку B такую, что её проекция на прямую принадлежит интервалу 
и 
—
а углы при основании острые, поскольку вершина проектируется внутрь основания. Количество пар точек (Ai, Aj) для таких треугольников равно 
Так как всего треугольников 
то достаточно проверить неравенство 
имеем очевидное неравенство 
а при нечетном 
неравенство принимает вид 
Используя свойство логарифмов 
Решая неравенство 
получим 
Значит, имеем два условия: 
Первое из них эквивалентно тому, что(положительные) x и y одновременно либо меньше 1, либо больше 1. Второе условие эквивалентно 
б) при 
Значит, на первую чашу можно положить гирьки с весами 59, На координатной плоскости начерчена парабола 
На положительной полуоси Oy взяли точку A и через неё провели две прямые с положительными угловыми коэффициентами. Пусть 
и 
— точки пересечения с параболой первой и второй прямой соответственно. Найдите ординату точки A, если известно, что 
где O — начало координат.
а абсциссы x1, x2 точек M и N пересечения прямой с параболой являются корнями уравнения 
Из теоремы Виета имеем 
и 
Вычислим 
и, значит, 
не зависит от k. Если же 
и для двух угловых коэффициентах kl, 
соответствующие углы равны, то из равенства 
то есть 
(в силу положительности kl, k2). Таким образом, получаем ответ 
являются решением системы. Докажем, что решение единственно. Для этого покажем, что функция (x), заданная первым уравнением, строго монотонно убывает, а функция, заданная вторым уравнением, строго монотонно убывает. Действительно, производная первой функции равна 
и её производная имеет вид 
(При обосновании монотонности указанных функций можно и не использовать производную, а сослаться на соответствующие свойства показательной и логарифмической функций для конкретных оснований).
Потом суммарный возраст стал равен 
Значит, новому учителю 
лет.
будет соответствовать 17 баллам.