РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 4030 Добавить в вариант

Решите систему уравнений

$система выражений 3 в степени x = корень из: начало аргумента: y конец аргумента ,2 в степени левая круглая скобка минус y правая круглая скобка =x в кубе . конец системы .$

Спрятать решение

Решение.

Непосредственно проверяется, что числа $x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $y=3$ являются решением системы. Докажем, что решение единственно. Для этого покажем, что функция (x), заданная первым уравнением, строго монотонно убывает, а функция, заданная вторым уравнением, строго монотонно убывает. Действительно, производная первой функции равна

$y в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = натуральный логарифм 3 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2 x правая круглая скобка умножить на 2 больше 0.$

Вторая функция определена при $x больше 0$ и её производная имеет вид

$y в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3 натуральный логарифм x, знаменатель: натуральный логарифм 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 3, знаменатель: натуральный логарифм 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби меньше 0.$

Таким образом, система имеет единственное решение $x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $y=3.$ (При обосновании монотонности указанных функций можно и не использовать производную, а сослаться на соответствующие свойства показательной и логарифмической функций для конкретных оснований).

Ответ: $левая фигурная скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; 3 правая круглая скобка правая фигурная скобка .$

Олимпиада Будущие исследователи  — будущее науки, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Системы комбинированные, Анализ. Применение производной при решении систем

Спрятать решение · Помощь