РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 4027 Добавить в вариант

Имеется n гирек весом 1, 2, ..., n (гр) и двухчашечные весы. Можно ли все гирьки разложить на весах так, чтобы на одной чаше было вдвое больше гирек, чем на другой, и весы уравновесились: a) при $n = 90;$ б) при $n = 99?$

Спрятать решение

Решение.

а)  Сумма весов всех гирек

$дробь: числитель: 90 минус 91, знаменатель: 2 конец дроби =4095$

является нечётным числом, следовательно, 90 гирек нельзя разделить на две кучки с равной суммой.

б)  Попробуем найти 33 гирьки с последовательными весами, общий вес которых равен половине суммы весов всех гирь. Решая уравнение

$k плюс левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка плюс умножить на s плюс левая круглая скобка k плюс 32 правая круглая скобка = дробь: числитель: 99 умножить на 100, знаменатель: 4 конец дроби ,$

то есть

$дробь: числитель: левая круглая скобка 2 k плюс 32 правая круглая скобка минус 33, знаменатель: 2 конец дроби =99 умножить на 25,$

откуда $k=59 .$ Значит, на первую чашу можно положить гирьки с весами 59, 60, ..., 91, а все оставшиеся на вторую чашу.

Ответ: а) нельзя; б) можно.

Олимпиада Будущие исследователи  — будущее науки, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Разное. Взвешивания, Разное. Да или нет?

Спрятать решение · Помощь