Всего: 185 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …
Добавить в вариант
и 
Тогда 
Таким образом, получаем в результате 
n — должно быть не меньше 7. Но 7! не делится на 32. При 
делимость 8! на 32 (а также на 9 и 7) имеет место.
Делимость n! на степени семерки обеспечивают числа 7, 14, 
Проверим, что 63! делится на 320 и 250. Делимость на 320 очевидна (так как 
Делимость на степени двойки обеспечивают четные числа — 31 четное число меньше 63. Но числа, кратные 4 (таких чисел 15), дают вклад в степень двойки по две единицы; числа, кратные 8 (их 7) — по три единицы, поэтому 63! делится на 
на самом деле 63! делится на двойку в степени 
б) 
то имеем 
откуда 
—
или 
Если 
то имеем 
не удовлетворяет условию 
Можно ли утверждать, что ABCD — прямоугольник, если известно, что: 
следует, что 
Так как площади треугольников ABC и ABD равны (они равны половине площади параллелограмма). По условию, 
значит, 
следовательно, 
Поскольку диагонали параллелограмма равны, 
(в треугольнике ABC) и 
(в треугольнике ABD). Поскольку 
а синусы углов A и B равны (так как углы в сумме составляют 180°), опять получаем равенство диагоналей.
пересекает оси Ox и Oy в точках A и B. Найдите длины катетов OA и OB, если площадь треугольника AOB равна 16.
—
(при 
касательная отсекает на осях те же по длине отрезки, что и при (–x0)). Уравнение касательной 
так как 
Отсюда получаем координаты точек пересечения с осями: 
Тогда
и 
и 
то достаточно доказать, что 
для всех x).
Результат обоснуйте.
Петя говорит Коле: «Если ты задумаешь квадратный трехчлен, имеющий корни, и назовешь мне только старший коэффициент и расстояние между корнями, то я угадаю ординату вершины на его графике». Коля считает, что Петя ошибается: ведь для задания квадратного трехчлена нужно знать три числа. Кто из мальчиков прав?
—
и зависит только от a и d.На доске записано несколько (более двух) последовательных целых чисел.
а) Докажите, что можно стереть одно число так, чтобы среднее арифметическое оставшихся чисел было целым.
б) Какое число k (удовлетворяющее свойству п. а)) можно стереть, если записано сто чисел:
...,
Если n нечетно, т. е. 
то центральное число есть 
и его можно стереть, так как оно равно среднему арифметическому оставшихся 
чисел. Действительно, 
то можно стереть первое число 
или последнее число 
чисел будет равно 
a во втором оно равно 
= 
должно делиться на 99. Имеем 
должно делиться на 99. Для k из первой сотни натуральных чисел это возможно лишь при 
или 
где 
Очевидно, против меньшей стороны 
лежит меньший угол в треугольнике, то есть этот угол меньше 
Покажем, что и против стороны a лежит угол α меньше 60°.
и 
б) 
и отметим в нем 51 вершину: 
(где нумерация циклическая: 
и т. д.). 
тоже равна 
и 
отрицательно. Докажите, что каждое из чисел x, y, z тоже отрицательно.
и 
Тогда 
и, значит, 
Далее, из равенств 
и 
последовательно получим, что 
и 
в которую вписана окружность с центром O. Прямая BO пересекает нижнее основание AD в точке M. Докажите соотношение для площадей:
и осталось доказать, что 
по свойству вписанной в четырехугольник окружности, откуда следует результат. (см. также способ решения в задаче 
(гр). Верно ли, что все гирьки всегда можно разложить на две чаши весов так, чтобы они уравновесились, если а) 
б) 
на 50). 
можно привести такой 
(n двоек) и можно показать, что других примеров не существует.
Тогда 
что эквивалентно равенству 
Число 4 можно разложить четырьмя способами в произведение двух целых чисел: 
и 
Тогда уравнение можно записать в виде 
После выделения квадратного корня в левой части, возведения обеих частей в квадрат и деления уравнения на v, получим: 
то есть 
или 
Число 8 можно разложить четырьмя способами в произведение двух целых чисел: 
Найдите 
где 
Легко заметить и доказать, что четность числа 
повторяется с периодом 4: действительно, 
(или 
то из неравенства следует, что 
Имеем 
Итак, имеем множество в квадрате 
вне единичного круга (см. рис.).
поскольку O лежит на средней линии трапеции, и 
—
О некотором квадратном трехчлене известна следующая информация: его старший коэффициент равен единице, у него целые корни, а его график (парабола) пересекается с прямой 
в двух точках с целыми координатами. Можно ли по этой информации однозначно определить ординату вершины параболы?
—
Из условия о целых корнях уравнения 
получаем (в силу простоты числа 2017), что для корня этого уравнения x0 будем иметь либо 
либо 
В обоих случаях 
Зная расстояние между корнями, однозначно определяем ординату вершины (см. задачу 
и 
(частное и остаток при делении на 9 числа 54 321).