РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 3956 Добавить в вариант

Имеется n гирек, каждая весит целое число граммов, а суммарный их вес равен 100 гр. Верно ли, что все гирьки всегда можно разложить на две чаши весов так, чтобы они уравновесились, если а) $n =50;$ б) $n =51?$

Спрятать решение

Решение.

а)  Если взять одну гирьку весом 51 гр и 49 гирек весом 1 гр, то их нельзя разложить на две части, равные по весу.

б)  Пусть a₁, a₂, ..., a₅₁  — веса гирек. Рассмотрим правильный 100-угольник $A_1 A_2 \ldots A_100$ и отметим в нем 51 вершину:

$A_ a_1,$ $A_ a_1 плюс a_2,$ $A_ a_1 плюс a_2 плюс a_3 \ldots,$ $A_ a_1 плюс a_2 плюс \ldots a_51=A_100.$

Поскольку отмеченных вершин среди вершин 100-угольника больше половины, то найдутся хотя бы две отмеченные диаметрально противоположные вершины, скажем, A_i и $A_i плюс 50$ (где нумерация циклическая: $A_101=A_1,$ $A_102=A_2$ и т. д.).

Таким образом,

$A_i=A_ a_1 плюс a_2 плюс \ldots плюс a_j,$ $A_i плюс 50=A_ a_1 плюс \ldots плюс a_j плюс a_j плюс 1 плюс \ldots плюс a_k$

при некоторых j, k, поэтому

$a_j плюс 1 плюс a_j плюс 2 плюс \ldots плюс a_k=50$

и оставшаяся сумма $a_k плюс 1 плюс a_k плюс 2 плюс \ldots$ тоже равна $50 .$

Ответ: a) неверно; б) верно.

Олимпиада Будущие исследователи  — будущее науки, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Разное. Взвешивания, Разное. Да или нет?

Спрятать решение · Помощь