Всего: 326 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 …
Добавить в вариант
Пусть все углы треугольника ABC меньше 120° и 
Рассмотрим точку внутри треугольника, для которой
Пусть прямая BT пересекает сторону AC в точке E, а прямая CT пересекает сторону AB в точке F. Докажите, что прямые EF и BC пересекаются в некоторой точке M, причём MB : MC = TB : TC.
и треугольник TBC — равнобедренный (с основанием BC). Поэтому его биссектриса TD является также медианой и высотой. Значит, AD — медиана и высота треугольнкие ABC. т. е. 
—
По свойству биссектрисы, 
откуда 
Тогда координаты двух других вершин — 
и 
которые следуют из перпендикулярности соседних звеньев. Получим систему уравнений: 
Пусть все углы треугольника ABC меньше 120° и Рассмотрим точку внутри треугольника, для которой
Пусть прямая BT пересекает сторону AC в точке E, а прямая CT пересекает сторону AB в точке F. Докажите, что прямые EF и BC пересекаются в некоторой точке M, причём MB : MC = TB : TC.
для которых числа 
и 
являются точными квадратами?
где 
Тогда 
Положим 
и 
Тогда a, b, c образуют арифметическую прогрессию, 
а остальные углы равны между собой. Известно, что AB = 6, CD = 4, EA = 7. Найдите расстояние от точки A до прямой CD.
и 
Искомое расстояние — это высота правильного треугольника со стороной 9 (до которого можно достроить исходный пятиугольник), то есть 
При этом требуется, чтобы 
и 
имели разные знаки (или одно из них равнялось нулю), или чтобы x равнялся 1. Если исключить вариант 
(дающий нулевую площадь), то остаётся часть плоскости, ограниченная отрезком прямой 
и 
Разрезав эту фигуру на две части по оси абсцисс и переложив верхнюю часть под нижнюю, получим квадрат площади 1. Встретились N детей. Некоторые из них подарили некоторым другим подарок (один другому не мог подарить больше одного подарка). Получилось, что все получили поровну подарков, хотя дарили все разное количество (в том числе, возможно, кто-то ничего не дарил). При каких N > 1 это возможно?
Значит, всего подарено 
и это число должно делиться на N. А это возможно только при нечётном N (при четном будет остаток 
то никто ничего не дарит. Иначе пусть последний ребёнок подарил по конфете всем остальным, а все дети со второго по 
-й
является кубом натурального числа. Найдите сумму всех кубоватых чисел.
так что осталось перебрать все остальные числа. Если 
то 
так что 21 кубоватое. При 
обязательно 
0, так что пока 
то 
выражение 
будет отрицательным, так что они точно не кубоватые. Числа 6 и 7 не кубоватые, это можно проверить непосредственно. Итого ответ 
Мотоциклист выехал из пункта A с начальной скоростью 90 км/ч, равномерно ее увеличивая (то есть за одинаковые промежутки времени его скорость увеличивается на одинаковую величину). Через три часа мотоциклист прибыл в пункт B, развернулся и, по-прежнему равномерно увеличивая скорость, поехал обратно. Еще через два часа он проехал мимо пункта C со скоростью 110 км/ч и продолжил движение в A. Найдите расстояние между пунктами A и C.
Обозначим 2018 через n. Тогда неравенство можно переписать в виде 
биномиальные коэффициенты. Так как 
то левая часть заведомо строго больше 
то есть неравенства 
получится требуемое неравенство.
Пусть это не так, тогда все площади заключены между S и 
потому что эти треугольники содержатся в треугольниках AA3C3 и BB3C3, имеющие площадь ровно 
Если же они попали в разные треугольники (не умаляя общности, в A1B1C1 и A2B2C2), то XCY имеет площадь строго меньше 
и она явно не может вся покрываться треугольником.Муха сидит в вершине A треугольной комнаты ABC
В какой-то момент она вылетает оттуда в произвольном прямом направлении, после чего каждый раз, долетая до стены, поворачивает на 60° и продолжает лететь по прямой (см. рисунок). Может ли оказаться, что через какое-то время муха пролетела больше 12 метров?
Тогда X пробегает некоторую дугу окружности, и пройденный путь достигает максимума, если 
На самом деле даже не обязательно доказывать, что это максимум: 
Предприятие в течение года производит некий товар в количестве 
за январь, 
за 
за декабрь. Среднее же количество товара вычисляется как среднее арифметическое за все месяцы с начала года:
Известно, что 
при k от 2 до 6 и 
при k от 7 до 12. В каком месяце среднее производство товара с начала года было наибольшим?
Встретились N детей. Некоторые из них подарили некоторым другим подарок (один другому не мог подарить больше одного подарка). Получилось, что все получили поровну подарков, хотя дарили все разное количество (в том числе, возможно, кто-то ничего не дарил). При каких N > 1 это возможно?
Всего: 326 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 …
(так как при подстановке в первое уравнение тогда получилось бы 
Тогда из первых двух уравнений можно выразить x и z: 
и раскроем скобки: 