Всего: 326 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 | 121–140 …
Добавить в вариант
Средняя линия разрезает треугольник на две части — треугольник и трапецию. В этой трапеции также проведена средняя линия. В результате исходный треугольник разрезан на три части — треугольник и две трапеции. Докажите, что если две из этих трёх частей имеют целые площади, то площадь третьей части тоже равна целому числу.
(А. А. Теслер)
Высоты же двух трапеций равны, и их площади относятся как 
Итак, площади трёх частей выражаются как 4x, 5x и 7x (где 
) Теперь рассмотрим варианты:
целое, значит, и 7x тоже.
целое, значит, и 4x тоже.
целое, значит, и 5x тоже. Семь кружков соединены отрезками, как показано на рисунке. У Амира есть три карандаша — красный, зелёный и синий. Он хочет закрасить каждый кружок одним из карандашей, причём никакие два кружка, соединённые отрезком, не должны быть одного цвета. Сколькими способами он может это сделать?
(А. Р. Араб)
Последовательные нечётные натуральные числа выписывают «по спирали», как показано на рисунке. Числа 3, 15 и остальные, находящиеся вместе с ними на одной прямой, назовём хорошими (на рисунке они выделены серым). Если упорядочить хорошие числа по возрастанию (3, 15, 23, 43, ...), то чему равно 2020-е число в этом ряду?
от максимально возможного, поэтому был урок, на котором присутствовали более 
или не более 11. Применяя к этим 11 ученикам то же рассуждение, получим ещё один день, когда были хотя бы 8 из них (то есть отсутствовали максимум 3), и третий, когда все эти (максимум) трое были.Пусть даны натуральные числа a, b, x и y, причём a < b, x < a(a + b) и y < a(a + b). Будем называть четвёрку чисел (a, b, x, y) странной, если x делится на a, y делится на b, x + y делится на a + b, но x − y не делится на a − b.
а) Существует ли странная четвёрка, в которой a и b взаимно просты?
б) Существует ли странная четвёрка, в которой a и b не взаимно просты?
(О. А. Пяйве)
для некоторых целых чисел k, p1, p2. Тогда 
откуда и из взаимной простоты a и b получается 
(случай 
рассматривается аналогично). Тогда из того, что 
следует, что 
Подставив это в выражение для x, мы получим, что 
и 
откуда 
что делится на 
значит, 
При этом угол BFC — общий, значит, треугольники FBO и FCB подобны. Отсюда 
Но при этом, так как FC — биссектриса, то 
Значит, 
и четырёхугольник FBCE вписанный. Значит, так как углы FCE и FCB равны, то и соответствующие дуги (FB и FE), и соответствующие хорды (FB и FE) равны.Паша написал на каждой грани куба натуральное число. Пришёл Андрей и написал в каждой вершине произведение трёх чисел на сходящихся в ней гранях. Оказалось, что сумма всех чисел Андрея равна 2020. Укажите все возможные значения суммы Пашиных чисел.
(П. Д. Муленко)
За каждый пропущенный способ разложения 2020 на множители снимается по 1 баллу. Приведены все или некоторые примеры подходящих чисел без иных продвижений — 1 балл.
совпадают с корнями 
Значит, множество корней это такое множество A (из одного или двух элементов), что 
Подходят только 
и 
и 
От большого дуба, растущего посреди чистого поля, ровно в полдень отправились в путь три всадника. Первый поскакал на юг со скоростью 20 вёрст в час, второй — на запад со скоростью 30 вёрст в час, третий — на восток со скоростью 40 вёрст в час. Второй и третий в некоторые моменты свернули так, чтобы, поскакав по прямой, встретить первого (продолжавшего движение на юг) в три часа дня. Кто раньше повернул и на сколько минут?
Паша написал на каждой грани куба натуральное число. Пришёл Андрей и написал в каждой вершине произведение трёх чисел на сходящихся в ней гранях. Оказалось, что сумма всех чисел Андрея равна 2020. Сколько существует различных наборов чисел, которые мог написать Паша?
которых также заданы разбиения на пары противоположных чисел.В окружность радиуса R вписан правильный n-угольник. Точка M движется по окружности, и для каждого её положения рассматривается сумма расстояний от M до прямых, содержащих стороны n-угольника. Для каких положений точки M результат окажется минимальным?
(О. А. Пяйве)
имеет 1 корень, 
имеет 0 корней, 
имеет 2 корня. Перемножая такие множители в нужных количествах (в качестве a беря разные положительные числа), можно получить любое количество корней от 0 до n. Больше n корней у многочлена степени n быть не может.
(аргумент функции 
—
тогда надо доказать, что 
при 
Ясно, что достаточно рассматривать неотрицательные t. Заметим, что 1 радиан больше 45, но меньше 90 градусов, поэтому 
Функция синус на промежутке 
выпукла вверх, поэтому 
при 
откуда получаем требуемое неравенство.
даётся 2 балла. Если доказательство работает только в предположении неравенств на t или x, то не больше 5 баллов. Последовательные нечётные натуральные числа выписывают «по спирали», как показано на рисунке. Числа 3, 15 и остальные, находящиеся вместе с ними на одной прямой, назовём хорошими (на рисунке они выделены серым). Чему равна сумма 2020 наименьших хороших чисел?
(А. Р. Араб)
а хорошее число с номером 2k + 1, наоборот, на 2 меньше, чем отличное с номером 2k + 2. Суммарно получается, что сумма первых 2020 хороших чисел равна сумме отличных чисел с номерами от 2 до 2021, то есть 
Теперь докажем исходное утверждение по индукции. База: подставляя 
получаем 
что верно. Переход: если уже известно, что 
получаем 
Лемма доказана. 
В классе учатся 28 человек. На 8 марта каждый мальчик подарил каждой девочке один цветок — тюльпан, розу или нарцисс. Сколько было подарено роз, если известно, что их в 4 раза больше, чем нарциссов, но в 10 раз меньше, чем тюльпанов?
(А. А. Теслер)
? Символом [a] обозначается целая часть числа a, то есть наибольшее целое число, не превосходящее a.
тогда 
Все числа вида 
подходят, поскольку для них 
то есть 
действительно равно n.
На плоскости нарисован равносторонний треугольник и три окружности с центрами в его вершинах. Точка плоскости красится в жёлтый цвет, если она лежит внутри ровно одной из окружностей; в зелёный, если внутри ровно двух; в синий, если внутри всех трёх. Может ли жёлтая площадь равняться 100, зелёная 10, а синяя — 1?
(П. Д. Муленко, А. А. Теслер)
). Докажем, что меньший круг всегда лежит внутри большего (из этого получится, что площади всех цветных частей правильные).
Получается, что это трапеция с основаниями AD и BC, причём равнобокая (случай AD = BC невозможен, поскольку тогда все шесть отрезков равны, а таких четырёхугольников не бывает). Впишем её в окружность. Пусть, не умаляя общности, BC < AD. Дуги AB, BC и CD стянуты равными хордами (и не пересекаются); обозначим градусную меру каждой из них α. Тогда дуга AD равна дуге AC, то есть 2α. Получаем 5α = 360° а углы трапеции равны 2α, 2α, 3α, 3α как вписанные.