Всего: 268 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 …
Добавить в вариант
имеет 70 делителей. 
имеет 160 делителей. 
где M включает все остальные множители. Обозначив число делителей M через p, будем и меть 
Отсюда: 
Очевидно, второй корень не годится. Итак, 
Тогда 
Подставив в одно из исходных уравнений, найдем 
Следовательно, 
Тогда 
являлась квадратом некоторого натурального числа.
при 
так как равенство 
не может быть выполнено ни при каких натуральных a и b. Так как n и 
взаимно простые числа, то можем положить: 
тогда 
или 
откуда 
a во втором: 
в непрерывную дробь.
(в этом случае 
Имеем: 
Возведем обе части равенства в куб: 
Далее возводим в четвертую, пятую и т. д. степень.
и 
(в этом случае 
и будем возводить в степень с нечетным показателем обе части равенства: 
и т. д. 
получим: 
и x не может быть рациональным числом. Положим теперь, что равны между собою какие-либо два из неизвестных x, y, z. Допустим, 
Тогда имеем 
Откуда: 
Решив это неравенство, найдем 
Но при 
не получается целых значений a, b, c. 
то 
и подстановка дает 
и 
Пусть 
Тогда 
и 
и 
и 
При больших значениях y будет уже 
что противоречит предположению. Вычислив стороны, получаем три треугольника, удовлетворяющих условию задачи: (6; 25; 29), (7; 15; 20), (9; 10; 17). Проверка показывает, что все они тупоугольные. Например, у первого треугольника косинус угла, лежащего против большей стороны, отрицательный: по теореме косинусов 
и 
и 
При больших значениях y получаем 
что противоречит предположению. 
и 
входили в первых степенях. Для этого заменим 
и 
а второй и четвертый: 
В боковых гранях некоторой треугольной пирамиды с вершиной в точке S проведены биссектрисы SM, SN, SK, длины которых l1, l2, l3. Найдите объем пирамиды SMNK, если известно, что один из ее плоских углов при вершине S не тупой, а другой не острый.
Тогда
и 
У дяди Кота Матроскина на складе гуталина видимо-невидимо да еще два ящика массой 5 и 8 кг. Докажите, что он сможет отмерить с помощью чашечных весов без гирь 218 кг этого полезного продукта. За какое наименьшее число взвешиваний это можно сделать?
—
— имеем 5, 8, 13, 26;
—
— имеем 5, 8, 13, 26, 52, 104;
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1], если числа a, b и c выражают длины сторон некоторого треугольника.
то есть корни рассматриваемого уравнения. По теореме Виета находим, что произведение корней уравнения должно быть отрицательно: 
То есть один корень положительный, а другой отрицательный. Поскольку мы знаем, что положительный корень только один, то на отрезке [0; 1] наше уравнение имеет ровно один корень.Дан ABC — равнобедренный прямоугольный треугольник. Прямая a перпендикулярна его оси симметрии. Треугольник MNK симметричен треугольнику ABC относительно a. Как расположить прямую a так, чтобы площадь пересечения названных треугольников была наибольшей?
Предположим сначала, что точка O лежит внутри треугольника A1B1C1. Тогда пересечением T и S(T) является шестиугольник. 
где 
Тогда отношение суммы площадей заштрихованных треугольников к площади треугольника ABC равно 
нужно минимизировать это выражение. Так как 
последнее равенство означает, что O — точка пересечения медиан треугольника ABC. 
площади треугольника.
и b2. Можно ли с помощью таких операций из тройки 
получить тройку 
?
—
а 
(углы со взаимными перпендикулярными сторонами), видим, что треугольник ABK равен треугольнику OCK (по гипотенузе и острому углу), отсюда 
Значит, треугольник BKC — равнобедренный и 
можно выделить 
непересекающихся 
квадратов, где через 
обозначена целая часть числа 
если n четно; 
если n нечетно). В каждом таком 
Приведем пример таблицы 
делится на 13?
соответственно. Последовательно находим остатки при делении rn при делении 3n на 13: 
тоже делится на 13, так что остаток 
можно получить просто как остаток при делении 
на 13. Таким образом, остатки повторяются с периодом 3, поэтому 
Таким образом, 
дает в остатке 
дает в остатке 12, получаем 
Грани кубика занумерованы числами 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, что сумма номеров на противоположных гранях равна 7. Кубик катят из левого нижнего в правый верхний угол шахматной доски размером 50 × 50 клеток (каждая клетка доски равна грани кубика) так, что он каждый раз переваливает через свое ребро на соседнюю клетку; при это разрешается двигаться только вправо или вверх. На каждой из клеток по пути кубика пишется номер грани, которая опиралась на эту клетку. Какое наибольшее значение может иметь сумма всех 99 выписанных чисел? Какое наименьшее?
находятся на противоположных гранях кубика, то нетрудно проверить, что между двумя встречающимися подряд числами a обязательно содержится число 
Поэтому для каждого 
возможны три ситуации: 
и 
на 3,5 их вклад в S не изменится. В случаях 2) и 3) от замены всех чисел a и 
В результате вся сумма увеличится или уменьшится самое большее на 
—
Шофёр автобуса установил в одной кассе катушку билетов с номерами от 537 000 до 537 999, а в другой — с номерами от 462000 до 462999. В какой из катушек «счастливых» билетов больше (т. е. таких, что сумма первых трёх цифр равна сумме следующих трёх цифр)?
то 
сумма 
постоянна. В нашем случае можно взять 
при 
то есть 
следовательно, a : 4, тогда 
и 