РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1459 Добавить в вариант

В боковых гранях некоторой треугольной пирамиды с вершиной в точке S проведены биссектрисы SM, SN, SK, длины которых l₁, l₂, l₃. Найдите объем пирамиды SMNK, если известно, что один из ее плоских углов при вершине S не тупой, а другой не острый.

Спрятать решение

Решение.

где $\overlinex y= косинус гамма ,$ $\overliney z= косинус альфа$ и $\overlinez x= косинус бета .$

Один плоский угол при вершине S не тупой, следовательно, все плоские углы при вершине S не тупые, то есть все плоские углы при вершине S прямые.

Один плоский угол при вершине S не острый, следовательно, все плоские углы при вершине S не острые, то есть все плоские углы при вершине S прямые.

Таким образом, если такая пирамида существует, то

$V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби l_1 l_2 l_3.$

Пример:

$альфа =90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ $бета = гамма =120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ $альфа плюс бета плюс гамма =330 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка меньше 360 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$

в трехгранном угле с плоскими углами α, β, γ проводим биссектрисы плоских углов, длиной l₁, l₂, l₃. Через точки проводим плоскость (единственную), которая отсекает требуемую пирамиду.

Ответ: $дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби l_1 l_2 l_3.$

Межрегиональная олимпиада школьников по математике САММАТ, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Геометрия: стереометрия. Объём и площадь поверхности

Спрятать решение · Помощь