РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1458 Добавить в вариант

Сколько решений имеет уравнение

$дробь: числитель: косинус в кубе 18 градусов, знаменатель: косинус x конец дроби плюс дробь: числитель: синус в кубе 18 градусов, знаменатель: синус x конец дроби =1$

в промежутке [0°; 2018°]?

Спрятать решение

Решение.

Освободим уравнение от знаменателей, одновременно приведя его к однородному путем замены 1 выражением $синус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс косинус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Будем иметь:

$косинус в кубе 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x плюс синус в кубе 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус x минус синус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x косинус x минус косинус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x косинус x=0 .$ $косинус в кубе 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x плюс синус в кубе 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус x минус$
$минус синус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x косинус x минус косинус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x косинус x=0 .$

Чтобы можно было применить хотя бы к первым членам этого равенства формулу синуса суммы, нужно, чтобы $синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ и $косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ входили в первых степенях. Для этого заменим

$косинус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =1 минус синус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ и $синус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =1 минус косинус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Получим:

$косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x минус косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x плюс синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус x минус$
$минус синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус x минус синус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x косинус x минус косинус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x косинус x.$ $косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x минус косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x плюс$
$плюс синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус x минус синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус x минус$
$минус синус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x косинус x минус косинус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x косинус x.$

Как видим, первый и третий члены дают $синус левая круглая скобка x плюс 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка ,$ а второй и четвертый:

$минус синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус левая круглая скобка x минус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка .$

Итак, имеем

$синус левая круглая скобка x плюс 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка минус синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус левая круглая скобка x минус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка минус синус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x косинус x минус косинус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x косинус x=0 .$ $синус левая круглая скобка x плюс 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка минус синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус левая круглая скобка x минус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка минус$
$минус синус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x косинус x минус косинус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x косинус x=0 .$

Для преобразования последних двух членов прибавим к ним равное нулю выражение

$синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате x минус косинус в квадрате x правая круглая скобка ,$

раскрыв в нем предварительно скобки. Получим:

$минус синус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x косинус x минус косинус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x косинус x плюс синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус в квадрате x минус синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус в квадрате x=$
$= синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x левая круглая скобка синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус x плюс косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x правая круглая скобка минус косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус x левая круглая скобка синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус x плюс косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x правая круглая скобка =$
$= синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус левая круглая скобка синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x плюс косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус x правая круглая скобка синус левая круглая скобка x плюс 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка = синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус косинус левая круглая скобка x минус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка синус левая круглая скобка x плюс 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка .$ $минус синус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x косинус x минус косинус в квадрате 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x косинус x плюс синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус в квадрате x минус синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус в квадрате x=$
$= синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x левая круглая скобка синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус x плюс косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x правая круглая скобка минус косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус x левая круглая скобка синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус x плюс косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x правая круглая скобка =$
$= синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус левая круглая скобка синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка синус x плюс косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус x правая круглая скобка синус левая круглая скобка x плюс 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$= синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус косинус левая круглая скобка x минус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка синус левая круглая скобка x плюс 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка .$

Возвращаемся к уравнению:

$синус левая круглая скобка x плюс 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка плюс синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус косинус левая круглая скобка x минус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка синус левая круглая скобка x плюс 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка минус синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус левая круглая скобка x минус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$= синус левая круглая скобка x плюс 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка плюс синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус косинус левая круглая скобка x минус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка левая квадратная скобка синус левая круглая скобка x плюс 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка плюс синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая квадратная скобка =0.$ $синус левая круглая скобка x плюс 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка плюс синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус косинус левая круглая скобка x минус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка синус левая круглая скобка x плюс 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка минус синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус левая круглая скобка x минус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$= синус левая круглая скобка x плюс 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка плюс синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус косинус левая круглая скобка x минус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка левая квадратная скобка синус левая круглая скобка x плюс 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка плюс синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая квадратная скобка =$
$=0.$

И, наконец, окончательно

$левая квадратная скобка 1 минус косинус левая круглая скобка x минус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка правая квадратная скобка левая квадратная скобка синус левая круглая скобка x плюс 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка плюс синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая квадратная скобка =0 .$

Теперь уже уравнение решается легко. Первый множитель дает:

$косинус левая круглая скобка x минус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка =1 равносильно x минус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =2 k Пи равносильно x=2 k Пи плюс 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Из второго находим:

$синус левая круглая скобка x плюс 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка = минус синус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус 36 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Отсюда

$x плюс 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =k Пи минус левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка арксинус левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус 36 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно x=k Пи минус левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка арксинус левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус 36 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка минус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ $x плюс 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =k Пи минус левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка арксинус левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус 36 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно$
$равносильно x=k Пи минус левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка арксинус левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус 36 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка минус 18 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Ответ: 17.

Межрегиональная олимпиада школьников по математике САММАТ, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Тригонометрия + рациональные выражения, Методы тригонометрии. Формулы суммы и разности

Спрятать решение · Помощь