Всего: 106 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–106
Добавить в вариант
В равнобедренном треугольнике ABC на высоте BH, равной основанию AC, как на диаметре, построена окружность, пересекающая боковую сторону BC в точке F. Каково отношение площади треугольника FCH к площади треугольника ABC? Какая часть площади треугольника ABC находится внутри окружности?
и 
Поскольку угол BFH — прямой, то по теореме об соотношениях в прямоугольном треугольнике для двух катетов BH, HC будем иметь: 
Тогда по теореме косинусов для треугольника BOF: 
биссектрисы BD и CE пересекаются в точке I. Найдите наименьший возможный радиус окружности, описанной около треугольника DEI, если сумма длин отрезков DI и EI равна 2d.
Из неравенства о среднем арифметическом и геометрическом, получаем: 
причём равенство достигается в случае 
Поэтому справедливо 
то, что xy стремится к нулю, понятно из того, что один из углов B либо C можно устремить к нулю. По теореме косинусов в треугольнике EID, получаем 
и 4 соответственно. Расстояние между серединами диагоналей BD и AC равно 1. Найти угол между прямыми BC и AD.
а P — середина стороны CD. Соединим точки N и P. Отрезок NP является средней линией треугольника BCD (N и P — середины сторон BD и CD, соответственно). Следовательно, отрезок NP параллелен стороне BC, а 
Так как отрезок MP параллелен стороне AD, а отрезок NP параллелен стороне BC, то угол между прямыми BC и AD совпадает с углом между прямыми MP и NP. 
и 
получим 
Так как угол Окружность радиуса 1 касается прямой P в точке A и прямой Q в точке B так, что хорда стягивает дугу окружности в 60°. Прямые P и Q пересекаются в точке F. Точка C расположена на луче AF, а точка D — на луче FB так, что AC = BD = 2. Найти длину медианы треугольника CBD, проведенной из вершины B.
Далее, 
так как это отрезки касательных, проведенных к данной окружности из одной точки.
Тогда 
Отсюда 
Применим теорему косинусов в треугольниках BFC и DFC: 
—
Применим теорему косинусов в треугольниках BCE и BDE:
На сторонах AB и AC остроугольного треугольника ABC вовне построены два равных прямоугольника AMNB и APQC. Найти расстояние между вершинами N и Q прямоугольников, если длины сторон AB и AC равны 3 и 4 соответственно, а угол при вершине A треугольника равен 30°.
а так как 
то также и 
По теореме Пифагора для треугольника ACQ получаем, что 
Прямоугольники APQC и AMNB равны, следовательно, AN также равно 5. Из равенства прямоугольных треугольников AQC и ABN следует, что сумма углов QAB и BAN равна 90 градусов. По условию задачи угол CAB равен 30 градусов. Следовательно, угол QAN равен сумме 
градусов. По теореме косинусов для треугольника QAN 
Основания серединных перпендикуляров обозначим точками P и Q. Тогда в прямоугольном треугольнике AMQ гипотенуза 
А в прямоугольном треугольнике ANP гипотенуза 
По теореме косинусов для треугольников AMN и ABC соответственно, имеем 
следовательно, 
или 
Покажем, что оба случая реализуются, то есть что если 
то 
то 
тогда 
и 
тогда 
Отсюда треугольники ANM и ABC равны по двум сторонам и углу α между ними. Следовательно, 
Далее, 
то есть треугольник NAB равнобедренный, поэтому 
таким образом, треугольник NAB равносторонний. Следовательно, 
Аналогично треугольник MAC — равносторонний. Следовательно, 
Отсюда треугольник ANM равен треугольнику ABC по двум сторонам и углу α между ними. Следовательно, 
Чертеж представлен на рис. б).
Тогда по теореме косинусов 
и 
Заметим, что треугольник ABC прямоугольный с гипотенузой AC. Сумма площадей треугольников AOB, BOC, AOC равна площади треугольника ABC. Что нам дает соотношение 
Тогда по теореме косинусов 
Заметим, что треугольник ABC прямоугольный с гипотенузой AC. Сумма площадей треугольников AOB, BOC, AOC равна площади треугольника ABC. Что нам дает соотношение 
Chord LP intersects with diameter KM of circle 
at point N. Find the ratio of an area of triangle KPM to the area of triangle KLM given that 
Хорда LP пересекает диаметр KM окружности в точке N. Найдите отношение площади треугольника KPM к площади треугольника KLM, если известно, что 
and 
Since KM is a diameter, it subtends right angle at point L. Hence, 
and so 
Поскольку KM является диаметром, KM виден из точки L под прямым углом. Следовательно, Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O, и при этом треугольники BOC и AOD — правильные. Точка T симметрична точке O относительно середины стороны CD.
а) Докажите, что ABT — правильный треугольник.
б) Пусть дополнительно известно, что 
Найдите отношение площади треугольника ABT к площади четырёхугольника ABCD.
Диагонали четырёхугольника CODT точкой пересечения делятся пополам, поэтому он параллелограмм, и при этом 
в четырёхугольнике CADT сумма противоположных углов равна 
и вокруг него также можно описать окружность. Следовательно, все 5 
и 
вписаны в 
Далее отметим, что
(вписанные, опираются на одну дугу);
(за счёт того, что BD параллельна CT);
(трапеция равнобокая).
два угла равны 
поэтому он равносторонний.
треугольника 
находим как полупроизведение диагоналей, умноженное на синус угла между ними: 
Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O, и при этом треугольники BOC и AOD — правильные. Точка T симметрична точке O относительно середины стороны CD.
а) Докажите, что ABT — правильный треугольник.
б) Пусть дополнительно известно, что 
Найдите отношение площади треугольника ABT к площади четырёхугольника ABCD.
находим, что 
Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O, и при этом треугольники BOC и AOD — правильные. Точка T симметрична точке O относительно середины стороны CD.
а) Докажите, что ABT — правильный треугольник.
б) Пусть дополнительно известно, что 
и 
Найдите отношение площади треугольника ABT к площади четырёхугольника ABCD.
сумма противоположных углов равна 
Далее отметим, что
Площадь трапеции 
Высоты CF и AE остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Точки M и N — середины отрезков AH и CH соответственно. Известно, что 
и при этом 
Найдите 
площадь треугольника ABC и радиус описанной около него окружности.
и 
Обозначим 
Тогда 
и 
(так как в четырёхугольнике BFHE углы E и F прямые). Далее находим: 
(треугольник 
равнобедренный), 
(треугольник 
равнобедренный), 
Поскольку 
углы 
и 
Таким образом, 
известно, что 
По теореме косинусов находим, что 
окружности равен 
при вершине B, и при этом 
и 
Значит, 
поэтому 
Тетраэдр ABCD с остроугольными гранями вписан в сферу с центром О. Прямая, проходящая через точку O перпендикулярно плоскости ABC, пересекает сферу в точке E такой, что D и E лежат по разные стороны относительно плоскости ABC. Прямая DE пересекает плоскость ABC в точке F, лежащей внутри треугольника ABC. Оказалось, что 
и 
Найдите величину угла ACB.
Значит, 
Из вписанности четырехугольника AEXD следует, что 
Раз 
то E — середина дуги AX описанной окружности треугольника ADE, и, значит, 
которое влечет за собой равенство 
Аналогичными рассуждениями получаем, что 
и, следовательно, 
Отметим, что это равенство можно вывести и из теоремы косинусов для трехгранных углов. 
значит, имеет место второй. Тогда 
и является центральным для угла ACB в описанной окружности треугольника ACB. В результате заключаем, что 
(+1 балл). 
(+1 балл). 
(+1 балл). 
попарно касаются друг друга внешним образом, а также касаются внешним образом четвертой окружности с радиусом r. Найти r.
где α, β, γ — углы треугольника со сторонами x, y, z и радиусом описанной окружности R, то по теореме синусов и по теореме косинусов получим 
тогда
получим 
—
—
Внутри треугольника ABC со сторонами 7, 4 и 6 выбрана точка M так, что ∠AMB = ∠BMC = ∠CMA. Найдите сумму квадратов расстояний от точки M до вершин треугольника. В случае, если ответ будет нецелым числом, округлите его до ближайшего целого.
Из теоремы косинусов получаем: 
Подставляя сюда численные значения из условия задачи, получаем ответ: 
).Дана пирамида ABCD, вершина A которой лежит на одной сфере с серединами всех её рёбер, кроме ребра AD. Известно, что AB = 1, BD = 2, CD = 3. Найдите длину ребра BC. Какой наименьший радиус может иметь сфера, описанная около данной пирамиды?
), поэтому 
Поскольку 
и 
то плоскость ADD′ перпендикулярна BC и 
откуда 
Из прямоугольного треугольника ABC находим 
Угол при вершине A остроугольного треугольника ABC равен 60°. Через вершины B и C проведены прямые, перпендикулярные сторонам AB и AC соответственно, пересекающиеся в точке D. Через вершину B проведена прямая, перпендикулярная прямой AD и пересекающая сторону AC в точке M. Длины отрезков MA и MC равны 15 и 1 соответственно. Найти длину стороны BC.
тогда 
и 
Следовательно, угол ABM равен углу BCA. 
Треугольная пирамидка, все рёбра которой имеют длину 6 см, стоит на плоском столе. Пирамидку перекатывают по столу через рёбра 6 раз таким образом, что одна из её вершин всё время остаётся неподвижной, при этом два раза подряд через одно и то же ребро пирамидку не перекатывают. Найдите длину траектории, по которой за время этих перекатываний перемещается подвижная вершина пирамиды.
см. По теореме косинусов из треугольника CDH находим, что 
поэтому на дугу окружности, по которой движется точка D, опирается центральный угол величиной 
Значит, длина этой дуги равна 
и 
Найдите периметр треугольника.
откуда
и 
Значит, 
то есть 
то 
то есть 
