Всего: 106 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …
Добавить в вариант
На столе лежат два конуса с общей вершиной O, касаясь друг друга внешним образом. Угол между их осями симметрии 
Аналогичным образом 
Поэтому 
и 
Пусть 
Поскольку нам нужен меньший из двух возможных третьих конусов, луч ОC лежит внутри угла AOB. Тогда (см. верхний рисунок) 
мы получим 
По условию 
откуда 
Числа 
и 
являются корнями квадратного уравнения 
AC=4. Найти длину медианы mBC, проведенной к стороне BC.
Найдите косинус острого угла между медианами данного треугольника, проведенными к его катетам.
получаем: 
или 
Тогда 
и 
или 
и 
По теореме Пифагора найдем медианы AN и CK: 
Точка M лежит на описанной около правильного треугольника ABC окружности и не совпадает с его вершинами. Докажите, что сумма расстояний от точки M до прилегающих вершин треугольника равна расстоянию от точки M до третей его вершины: AM + CM = BM.
R —
Требуется доказать, что 
Имеем:
Имеем: 
тогда
(точка M — не середина дуги AMC), то 
то есть 
(точка M середина дуги AMC), то BM — диаметр, 
и из 
имеем: 
На стороне BC треугольника ABC отмечена точка K так, что AK = 5, BK = 16, KC = 2. Около треугольника ABK описана окружность. Через точку C и середину D стороны AB проведена прямая, которая пересекает окружность в точке P, причем CP > CD. Найдите DP, если 
то 
(N — точка пересечения прямой CD с окружностью, 
Четырехугольник ANBP вписан в окружность 
и 
По свойствам касательных и секущих к окружности имеем 
и 
и 
по теореме косинусов имеем 
значит, 
Тогда 
На стороне BC треугольника ABC отмечена точка K так, что AK = 8, BK = 24, KC = 3. Около треугольника ABK описана окружность. Через точку C и середину D стороны AB проведена прямая, которая пересекает окружность в точке P, причем CP > CD. Найдите DP, если
По свойствам касательных и секущих к окружности имеем 
По теореме косинусов 
так как 
Тогда 
—
и 
отсюда 
По формуле Герона 
BH — высота треугольника, проведенная к основанию AC, 
и 
треугольник AOB равносторонний, 
Поскольку 
то угол 
Вписанный в окружность угол BDC опирается на ту же дугу, что и угол BAC, следовательно, 
Пусть 
По теореме косинусов для треугольника BDC имеем 
Точка D лежит на окружности радиуса 
описанной около равнобедренного треугольника ABC. Высота этого треугольника, проведенная к основанию AC, равна 
Найдите площадь треугольника DBC, если DB = 8.
BH — высота треугольника, проведенная к основанию AC, 
и 
Поскольку 
В треугольнике со сторонами AB = BC = 5 и AC = 6 на основании AC выбрана точка N так, что AN : NC = 2 : 1. Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных вокруг треугольников ABN и CBN. При необходимости округлите результат до двух знаков после запятой.
—
—
а 
—
Треугольники ABC и 
подобны.
получаем ответ 
В треугольнике со сторонами 
и AC = 6 на основании AC выбрана точка N так, что AN : NC = 2 : 1. Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных вокруг треугольников ABN и CBN. При необходимости округлите результат до двух знаков после запятой.
AH — высота треугольника, проведенная к основанию BC, 
и 
треугольник AOB равносторонний, 
Поскольку 
то угол 
Вписанный в окружность угол BDC опирается на ту же дугу, что и угол BAC, следовательно, 
либо BDC опирается на дополнительную дугу к той, на которую опирается угол BAC, следовательно, 
Пусть 
Точка D лежит на окружности радиуса описанной около равнобедренного треугольника ABC. Высота этого треугольника, проведенная к основанию BC, равна Найдите площадь треугольника DBC, если DB = 8 .
AH — высота треугольника, проведенная к основанию BC, 
треугольник AOB равносторонний, 
Поскольку 
то угол 
Вписанный в окружность угол BDC опирается либо на ту же дугу, что и угол BAC, и 
либо BDC опирается на дополнительную дугу к той, на которую опирается угол BAC, следовательно, 
Найдите площадь сечения правильной треугольной пирамиды TABC плоскостью, проходящей через центр сферы описанной около пирамиды, и через середины бокового ребра TA и стороны основания BC и параллельной апофеме TF боковой грани ATB, если радиус сферы равен 3.
основания ABC точкой H делится в отношении 
считая от вершины A, причем 
и 
Пусть R — радиус описанной около пирамиды сферы.
треугольники GTO и DHO подобны, и 
По теореме Пифагора для треугольника AOH имеем 
и 
отсюда 
и 
Пусть прямая QM пересекает ребро TC в точке N. Треугольники TPN и CQN подобны, 
Тогда 
Рассмотрим треугольник QKA. Имеем 
По теореме косинусов получаем 
—
Первая окружность с центром в точке O вписана в треугольник ABC. Точки A и B лежат на второй окружности с центром в той же точке O. Прямая AC пересекает вторую окружность в точке D 
а прямая BC пересекает вторую окружность в точке E 
Известно, что угол ABC равен углу CAE. Найдите косинус угла BAC. Ответ не должен включать обозначения тригонометрических функций и обратных к ним.
Тогда 
отсюда 
Точка O — центр вписанной в треугольник ABD окружности. 
Поскольку O — центр описанной в около треугольника ABC окружности, то треугольник AOB равнобедренный, и 
Треугольники AOD и BOD равнобедренные, 
то 
Треугольник ABD равнобедренный, 
и 
Пусть 
то по теореме косинусов для треугольника CBD имеем 
В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Известно, что центры вписанной в треугольник ABD и описанной около треугольника ABC совпадают. Найдите площадь треугольника ABC, если CD = 4. Ответ не должен включать обозначения тригонометрических функций и обратных к ним.
и 
Точка O — центр вписанной в треугольник ABD окружности. Значит, 
и 
Поскольку O — центр описанной в около треугольника ABC окружности, то треугольник AOB равнобедренный, 
и 
Треугольники AOС и BOC равнобедренные, 
и 
Поскольку 
то 
Треугольник ABC равнобедренный, 
и 
и 
Треугольники ABC и CAD подобны, 
и 
где 
Очевидно, против меньшей стороны 
лежит меньший угол в треугольнике, то есть этот угол меньше 
Покажем, что и против стороны a лежит угол α меньше 60°.
и 
Тогда 
и 
Применяя теорему косинусов к треугольникам AOM, BOM и COM, получаем 
постоянна и равна 6R2 независимо от положения точки M на окружности. Что и требовалось доказать.