Всего: 106 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–106
Добавить в вариант
Тогда, 
угол между ОM и CO равен 
постоянна и равна 
Учитывая, что 
получим
Диагонали AC и BD выпуклого четырёхугольника ABCD, равные 3 и 4 соответственно, пересекаются под углом 75°. Чему равна сумма квадратов длин отрезков, соединяющих середины противоположных сторон четырехугольника?
Чему равна сумма квадратов длин отрезков, соединяющих середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника KLNM, если диагонали KM и LN, равные 3 и 4 соответственно, пересекаются под углом 75°?
Точка O лежит внутри равнобедренного прямоугольного треугольника ABC. Расстояние от нее до вершины A прямого угла равно 6, до вершины B равно 4, до вершины C равно 8. Найти площадь треугольника ABC.
Получаем четырёхугольник OADB, в котором 
(см. чертёж). Дальше можно рассуждать несколькими способами. 
учитывая, что 
и 
то есть 
откуда 
Подставляя 
в первое уравнение, получаем 
Поскольку (см. чертёж) точка B должна лежать по ту же сторону от прямой ОА, что и точка D, то 
поэтому подходит только корень 
откуда 
Наконец, 
Обозначим 
Тогда по теореме косинусов для треугольника ОDB имеем 
и 
По теореме косинусов для треугольников OAB и OAC имеем: 
Заметим, что 
и в этом случае 
то есть точка O не будет лежать внутри треугольника, поэтому 
Простым счётом углов убеждаемся, что 
Точка O лежит внутри равнобедренного прямоугольного треугольника ABC. Расстояние от нее до вершины A прямого угла равно 5, до вершины B равно 7, до вершины C равно 3. Найти площадь треугольника ABC.
Получаем четырёхугольник OADB, в котором 
и 
тот есть
откуда 
Подставляя 
в первое уравнение, получаем
Обозначим 
Тогда по теореме косинусов для треугольника ODB имеем 
По теореме косинусов для треугольников OAB и OAC имеем: 
Заметим, что 
и в этом случае 
не будет лежать внутри треугольника, поэтому 
Тогда по теореме косинусов 
и 
Заметим, что треугольник ABC прямоугольный с гипотенузой AC. Сумма площадей треугольников AOB, BOC, AOC равна площади треугольника ABC. Что нам дает соотношение 
Тогда по теореме косинусов 
и 
Заметим, что треугольник ABC прямоугольный с гипотенузой AC. Сумма площадей треугольников AOB, BOC, AOC равна площади треугольника ABC. Что нам дает соотношение 
и 
Заметим, что треугольник ABC прямоугольный с гипотенузой AC. Сумма площадей треугольников AOB, BOC, AOC равна площади треугольника ABC. Что нам дает соотношение 
Заметим, что треугольник ABC прямоугольный с гипотенузой AC. Сумма площадей треугольников AOB, BOC, AOC равна площади треугольника ABC. Что нам дает соотношение 
Заметим, что треугольник ABC прямоугольный с гипотенузой AC. Сумма площадей треугольников AOB, BOC, AOC равна площади треугольника ABC. Что нам дает соотношение 
Заметим, что треугольник ABC прямоугольный с гипотенузой AC. Сумма площадей треугольников AOB, BOC, AOC равна площади треугольника ABC. Что нам дает соотношение 
Заметим, что треугольник ABC прямоугольный с гипотенузой AC. Сумма площадей треугольников AOB, BOC, AOC равна площади треугольника ABC. Что нам дает соотношение 
Заметим, что треугольник ABC прямоугольный с гипотенузой AC. Сумма площадей треугольников AOB, BOC, AOC равна площади треугольника ABC. Что нам дает соотношение 
тогда по условию 
Треугольники APO и AKO равны по двум сторонам 
и углам 
между ними, следовательно, 
Аналогично, равны треугольники CMO и CKO, откуда 
Отсюда следует 
—
поэтому 
следовательно, 
и точка M принадлежит отрезку ВН и наоборот.
и гипотенузам 
следовательно, равны углы EPO и HMO. При этом, по доказанному в пункте 2), если ЕРО внутренний для четырёхугольника BPOM, то 
Из треугольника АОC находим 
градусов.
По теореме косинусов 
и 
градусов соответственно, поэтому треугольники МСН и МСВ равны по сторонам 
и углам 
между ними. B частности, 
и 
поэтому треугольники МАB и CAB равны по сторонам 
и 
и углам MAB и CAP между ними. Следовательно, равны и их третьи стороны МВ и CP, то есть 
что и требовалось доказать.
Координаты точек М и Н в таком случае равны
и 
Координаты точки T — середины гипотенузы АВ равны 
а вектор ТР перпендикулярен вектору 
и в 
раз короче его, поэтому имеет координаты 
Следовательно, вектор СР имеет координаты 
равную длине вектора МH, что и требовалось доказать.
или 
3 балла. B координатном и тригонометрических решениях наличие любых ошибок, кроме простейших арифметических в конце вычислений: 0 баллов. При наличии простейших арифметических ошибок: снимаем 1−2 балла.Пусть А — точка пересечения двух окружностей. Из этой точки по каждой окружности, по часовой стрелке, с постоянными скоростями начинают двигаться точки Х1 и Х2.Через один оборот обе точки вновь оказываются в A. Докажите, что всегда найдется такая неподвижная точка В, что всё время движения выполняется равенство Х1В = X2B.
(в противном случае проверять нечего при любом выборе P).
обладает указанным в задаче свойством, и все показано. Рассмотрим случай, когда радиусы различны. Заметим, что в этом случае найдутся два такие момента времени, что получающиеся в эти моменты отрезки 
не параллельны. Действительно, достаточно например взять на большей окружности концы диаметра перпендикулярного O1O2. Наклоны в эти моменты у 
и 
будут различны.
отличную от A. Рассмотрим углы 
Заметим, что разность этих углов не зависит от того момента, в который взяты точки X1, X2. Значит, для некоторого α выполнено 
По теореме косинусов в треугольниках 
получаем 
Тогда 
вообще говоря своя), пока 
проходит полный оборот, или тождественно равна нулю, или равна нулю не более чем при двух значениях этого угла (двух парах точек X1, X2). Но одно из них — начальное положение точек, теперь функция либо имеет не более одного ноля при допусловии 
либо тождественно равна нулю. 
Соответствующая ей функция в эти два момента времени обращается в ноль, при этом также выполнено 
Следовательно, эта функция — тождественный ноль. Но тогда такая Окружности K1 и K2 с центрами в точках O1 и O2 одинакового радиуса r касаются внутренним образом окружности K радиуса R с центром в точке O. Угол O1OO2 равен 120°. Найти радиус q окружности, касающейся K1 и K2 внешним образом и
Рассмотрим треугольник OO1Q. Запишем теорему косинусов: 
Тогда треугольник BDC — равнобедренный, и угол 
получим 
Тогда из теоремы косинусов в треугольник ABD получим: 
Найдите отношения высоты пирамиды к стороне основания.
—
—
и 
Достроим четырёхугольник ABCD до равностороннего треугольника ADE (см. рис.). Из равенства треугольников DEB и ADC, AEC и DAB следует, что 
и 
Откуда следует, что 
Условие существования вписанной окружности в четырёхугольник ABCD принимает вид: 
что равносильно 
Выполнения которого невозможно в силу того, что 
вытекает из теоремы косинусов в треугольнике BEC или 
Поскольку
