РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5572 Добавить в вариант

Пусть А  — точка пересечения двух окружностей. Из этой точки по каждой окружности, по часовой стрелке, с постоянными скоростями начинают двигаться точки Х₁ и Х₂.Через один оборот обе точки вновь оказываются в A. Докажите, что всегда найдется такая неподвижная точка В, что всё время движения выполняется равенство Х₁В  =  X₂B.

Спрятать решение

Решение.

Пусть две окружности пересекаются в точке A, точки X₁, X₂ едут по окружностям так как описано в задаче. Можно считать что нас интересуют в точности все описанные в задаче пары X₁, X₂ при которых $X_1 не равно q X_2$ (в противном случае проверять нечего при любом выборе P).

Если радиусы одинаковы, то в силе симметрии точка $P=A$ обладает указанным в задаче свойством, и все показано. Рассмотрим случай, когда радиусы различны. Заметим, что в этом случае найдутся два такие момента времени, что получающиеся в эти моменты отрезки $X_1 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка X_2 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка ,$ $X_1 в степени левая круглая скобка \prime \prime правая круглая скобка ,$ $X_2 в степени левая круглая скобка \prime \prime правая круглая скобка$ не параллельны. Действительно, достаточно например взять на большей окружности концы диаметра перпендикулярного O₁O₂. Наклоны в эти моменты у $X_1 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка X_2 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ и $X_1 в степени левая круглая скобка \prime \prime правая круглая скобка ,$ $X_2 в степени левая круглая скобка \prime \prime правая круглая скобка$ будут различны.

Возьмем произвольную точку $P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка ,$ отличную от A. Рассмотрим углы $\angle P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка O_1 X_1,$ $\angle P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка O_2 X_2,$ Заметим, что разность этих углов не зависит от того момента, в который взяты точки X₁, X₂. Значит, для некоторого α выполнено

$\angle P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка O_1 X_1= альфа плюс \angle P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка O_2 X_2.$

Рассмотрим теперь разность $P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка X_1 в квадрате минус P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка X_2 в квадрате .$ По теореме косинусов в треугольниках $P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка O_1 X_1,$ $P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка O_2 X_2$ получаем

$P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка X_1 в квадрате минус P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка X_2 в квадрате =P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка O_1 в квадрате плюс A O_1 в квадрате минус 2 P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка O_1 умножить на A O_1 косинус \angle P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка O_1 X_1 минус$
$минус P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка O_2 в квадрате минус A O_2 в квадрате плюс 2 P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка O_2 умножить на A O_2 косинус \angle P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка O_2 X_2.$ $P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка X_1 в квадрате минус P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка X_2 в квадрате =P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка O_1 в квадрате плюс A O_1 в квадрате минус$
$минус 2 P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка O_1 умножить на A O_1 косинус \angle P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка O_1 X_1 минус P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка O_2 в квадрате минус$
$минус A O_2 в квадрате плюс 2 P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка O_2 умножить на A O_2 косинус \angle P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка O_2 X_2.$

Обозначим

$r_1=A O_1,$ $r_2=A O_2,$ $b_1=P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка O_1,$ $b_2=P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка O_2,$

отметим, что эти коэффициенты не зависят от момента, в который были взяты точки $X_1, X_2.$ Тогда

$P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка X_1 в квадрате минус P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка X_2 в квадрате =b_1 в квадрате плюс r_1 в квадрате минус 2 r_1 умножить на b_1 косинус левая круглая скобка \angle P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка O_2 X_2 плюс альфа правая круглая скобка минус b_2 в квадрате минус r_2 в квадрате минус 2 r_2 умножить на b_2 косинус \angle P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка O_2 X_2=\text .$ $P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка X_1 в квадрате минус P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка X_2 в квадрате =$
$=b_1 в квадрате плюс r_1 в квадрате минус 2 r_1 умножить на b_1 косинус левая круглая скобка \angle P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка O_2 X_2 плюс альфа правая круглая скобка минус b_2 в квадрате минус r_2 в квадрате минус 2 r_2 умножить на b_2 косинус \angle P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка O_2 X_2=\text .$ $P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка X_1 в квадрате минус P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка X_2 в квадрате =$
$=b_1 в квадрате плюс r_1 в квадрате минус 2 r_1 умножить на b_1 косинус левая круглая скобка \angle P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка O_2 X_2 плюс альфа правая круглая скобка минус b_2 в квадрате минус r_2 в квадрате минус 2 r_2 умножить на b_2 косинус \angle P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка O_2 X_2=$
$=\text .$

Раскрывая косинус суммы получаем для некоторых чисел f, g, h, получим

$P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка X_1 в квадрате минус P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка X_2 в квадрате =f плюс g синус \angle P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка O_2 X_2 плюс h косинус \angle P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка O_2 X_2.$

Эта функция (для каждого выбора $P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ вообще говоря своя), пока $\angle P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка O_2 X_2$ проходит полный оборот, или тождественно равна нулю, или равна нулю не более чем при двух значениях этого угла (двух парах точек X₁, X₂). Но одно из них  — начальное положение точек, теперь функция либо имеет не более одного ноля при допусловии $X_1 не равно q X_2,$ либо тождественно равна нулю.

C другой стороны, она обращается в ноль при $X_1 не равно q X_2$ в точности тогда когда $P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$ лежит на серединном перпендикуляре к невырожденному отрезку X₁X₂. Напомним, что найдутся два такие момента времени, что получающиеся в эти моменты отрезки $X_1 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка X_2 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка ,$ $X_1 в степени левая круглая скобка \prime \prime правая круглая скобка ,$ $X_2 в степени левая круглая скобка \prime \prime правая круглая скобка$ не параллельны. Значит, серединные перпендикуляры к ним имеют общую точку. Возьмем именно ее в качестве $P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка .$ Соответствующая ей функция в эти два момента времени обращается в ноль, при этом также выполнено $X_1 не равно q X_2.$ Следовательно, эта функция  — тождественный ноль. Но тогда такая $P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка$   — искомая.

Многопрофильная олимпиада УрФУ для школьников Изумруд, 11, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Методы геометрии. Теорема косинусов, Олимпиадная геометрия. Движения плоскости и пространства

Спрятать решение · Помощь