Всего: 200 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …
Добавить в вариант
и 
а их знаменатели p и q. Рассмотрим первые три члена каждой прогрессии. Чтобы сумма также была геометрической прогрессией, необходимо 
и перенося всё в левую часть, получаем 
Это возможно только когда 
Кроме того, требуется ещё и чтобы 
не было равно нулю как первый член геометрической прогрессии.Последовательности an , bn связаны соотношениями 
а) Пусть 
Положим
Докажите, что числа 
образуют геометрическую прогрессию.
б) Докажите, что пределы 
существуют и не зависят от выбора 
в) Лучи 
и 
лежат в первом координатном угле, причем луч образует угол 
с осью абсцисс, а — угол 
с осью ординат. Луч 
является биссектрисой угла между осью абсцисс и лучом 
а mn — биссектрисой угла между осью ординат и 
Вычислите с точностью до 0,01 угол между лучом 
и осью абсцисс.
поэтому
отличается от 
ровно в 4 раза. Тогда 
отличается от 
ровно в 4 раза. Наконец 
и 
поэтому 
и 
уменьшатся вчетверо, значит, их квадраты — в 16 раз, сумма квадратов тоже в 16 раз, корень из нее — в 4 раза. То есть 
поэтому 
а тогда (учитывая 
)
и 
поэтому и последовательность 
образованная перемешиванием этих двух, стремится к нулю. Поэтому 
Аналогично 
с осью абсцисс, а 
с осью ординат. Луч 
и 
значит, эти последовательности удовлетворяют тем же соотношениям, которые использовались в первых пунктах. Поэтому 
с точностью 
а угол равен 
с точностью 
что и требовалось.
а) Найдите все треугольники, длины сторон и величины углов которых образуют арифметические прогрессии.
б) Верно ли, что для всякой арифметической прогрессии из четырех положительных чисел существует выпуклый четырехугольник, длинами сторон которого являются эти числа?
в) Найдите все четырехугольники, длины сторон и углы которых (взятые в циклических порядках) образуют арифметические прогрессии.
то из того, что они образуют арифметическую прогрессию, следует, что средний из них равен 
Если a — длина стороны, противоположной этому углу, то длины остальных сторон треугольника — 
По формуле косинусов 
и 
то существует замкнутая выпуклая ломаная, длины звеньев которой равны ai. Попробуйте дать какое-нибудь обоснование этого утверждения. 
(обозначения на рисунке; отрезок CK параллелен стороне AB), откуда следует, что 
при всех 
Верно ли, что 
Существует ли арифметическая прогрессия, среди членов которой содержатся все числа 
и 
Поэтому
а 
где 
Ясно, что 
и d — рациональные числа; пусть q — их общий знаменатель. Осталось заметить, что в левой части равенства 
между тем как знаменатель числа, стоящего в его правой части, не больше q, поэтому оно не может стремиться к нулю.
найдутся, поскольку уравнения не пропорциональны. Тогда 
и 
В таком случае 
—
не может быть записано в виде дроби со знаменателем, меньшим чем 
поэтому 
при всех натуральных n, что невозможно.
при всех 
Верно ли, что 
т. е. 
В таком случае 
не может быть записано в виде дроби со знаменателем, меньшим чем 
поэтому 
при всех натуральных n, что невозможно.а) Существует ли геометрическая прогрессия, среди членов которой имеются числа 2, 3 и 5?
б) Решите уравнение 
(здесь 
— это целая часть числа, т. е. наибольшее целое число, его не превосходящее).
в) Найдите количество лежащих на кривой 
точек плоскости, координаты которых суть целые числа.
г) Два шахматиста играют матч до первой победы. Известно, что во встречах друг с другом каждый из них, играя белыми фигурами, побеждает с вероятностью 
а проигрывает с вероятностью 
(тем самым с вероятностью в каждой из партий фиксируется ничья). Если в 40 партиях матча будет зафиксирована ничья, то для определения победителя кидают жребий. Оцените (с разумной точностью) шансы на выигрыш того игрока, с хода которого начнется этот матч.
и 
то 
т. e. 
что невозможно. 
то осуществим перебор. 
Тогда 
откуда 
Имеем 
так что 
и этот случай невозможен.
или 
В первом случае 
Из 
(
), поэтому число k должно быть четным. Во втором случае, наоборот, n — нечетно. Поэтому 
или 
Таким образом, 
или 
В этом случае 
так что решений нет.
Тогда 
а число k должно быть четно. Таким образом, 
Так как числа x + y и x − y, будучи целыми, имеют одинаковую четность, то 
и 
где 
Таким образом, количество решений данного уравнения совпадает с количеством чисел 
поэтому будем считать, что матч продолжается до первой победы. Вероятность победы игрока, который в первой партии играет белыми фигурами, равна сумме ряда 
— вероятности его победы при игре белыми, соответственно, черными фигурами, 
— вероятность ничьи. 
так как вероятность его победы почти равна 
а) Существует ли геометрическая прогрессия, среди членов которой имеются числа 3, 7 и 10?
б) Решите уравнение 
(здесь — это целая часть числа, т. е. наибольшее целое число, его не превосходящее).
в) Найдите количество лежащих на кривой 
точек плоскости, координаты которых суть целые числа.
г) Два шахматиста играют матч до первой победы. Известно, что во встречах друг с другом каждый из них, играя белыми фигурами, побеждает с вероятностью а проигрывает с вероятностью 
(тем самым с вероятностью 
в каждой из партий фиксируется ничья). Если в 80 партиях матча будет зафиксирована ничья, то для определения победителя кидают жребий. Оцените (с разумной точностью) шансы на выигрыш того игрока, с хода которого начнется этот матч.
получим 
причем 
Из первых двух уравнений получаем 
а из последних двух 
поскольку 
Поэтому левая часть может принимать только значения −2, −1, 0, 1, 2. Решим все полученные уравнения-следствия, а потом проверим, для каких из их корней целая часть оказывается правильной. Во всех вариантах ниже 
Найдем
было нечетным или, что то же, k было нечетным, 
тогда
при нечетном k. Значит, нужно, чтобы k было четным 
получим
откуда видно, что 
и 
—
что четно, поэтому и сами они оба четны (или оба нечетны, но тогда и их произведение было бы нечетно). Обозначая 
и 
получим 
причем по любым целым a и b можно однозначно построить 
и 
которые подойдут в изначальное уравнение.
Все они имеют вид 
где 
и l =0, 1, 2, 3, 4, 5, что дает 
варианта для a и каждый из них однозначно определит b.
вероятность его победы почти равна 
а числа 
образуют в указанном порядке непостоянную геометрическую прогрессию. Найдите 
то 
Используем характеристическое свойство геометрической прогрессии (квадрат любого её члена равен произведение двух соседних) и получаем уравнение 
либо 
где 
следовательно, 
и геометрическая прогрессия оказывается постоянной. Значит, осуществляется второй случай. Так как 
то 
и y (либо x, либо z) — 1 балл. Известно, что числа x, y, z образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию с разностью 
а числа 
образуют в указанном порядке непостоянную геометрическую прогрессию. 
где 
и геометрическая прогрессия оказывается постоянной. Значит, осуществляется второй случай. Так как 
то 
а 
также образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Найдите 
и 
получаем 
то окончательно получаем 
и y (либо x, либо z) — 1 балл. 
или 
(возможно с параметром 
—Известно, что числа x, y, z образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию с разностью 
а 
также образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Найдите 
получаем 
то 
и 
и окончательно получаем 
2p и 
являются соответственно первым, вторым и третьим членами некоторой геометрической прогрессии.
При 
получаем 
откуда 
(не подходит). Если 
то 
или 
(оба корня подходят).
— 1 балл.
и 
являются соответственно первым, вторым и третьим членами некоторой геометрической прогрессии.
При 
получаем 
(не подходит). Если 
то 
(оба корня подходят).
и 
являются соответственно первым, вторым и третьим членами некоторой геометрической прогрессии.
откуда 
являются соответственно первым, вторым и третьим членами некоторой геометрической прогрессии.
откуда 
следовательно, количество сотен — a, десятков — 
а единиц — 
что невозможно. 
но 
так как c и b — цифры, значит, 
тогда a — любое.
При 
находим 
При 
находим 
Первый член 
разность 
членов, и их сумма равна 
Первый, второй и третий члены геометрической прогрессии попарно различны и равны второму, четвертому и седьмому членам некой арифметической прогрессии, а произведения эти трех чисел равно 64. Найти первый член геометрической прогрессии.
Произведение трех чисел есть 
откуда получаем 
Следовательно, 
и 
Перемножая эти равенства, приходим к квадратному уравнению 
а значит, 
a, 
Тогда сумма квадратов равна 
и наименьший член последовательности 
