Всего: 200 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 | 121–140 …
Добавить в вариант
1.1 Из последовательности ck выделить три различных числа, образующих арифметическую прогрессию. Докажите, что в исходном наборе есть числа разных знаков.
Развернуть
что 
образуют непостоянную арифметическую прогрессию для каких-то 
Будем считать, что 
так как если выкинуть из набора 
то 
противоречие.
то это означает −ki чисел, равных −i (именно поэтому мы взяли нечётные степени). Чтобы подобрать 
а значит, можно и целые.1.2 Из последовательности ck выделили четыре различных числа, образующих арифметическую прогрессию. Приведите пример того, как такое могло быть.
Развернуть
1.4 Из последовательности ck выделили сто различных чисел, образующих арифметическую прогрессию. Докажите, что её разность по модулю больше 1030.
Развернуть
—
где d — разность арифметической прогрессии. При этом 
делится на 
для какого-то простого p, тогда, по теореме Ферма, 
Если при этом 
то 
Давайте для каждого 
найдём подходящие i, j. Если рассмотреть первые p индексов 
и 
Значит, d делится на произведение всех простых до 100, а оно что-то около 1033.
тогда
— не возрастает или 
Следовательно, необходимые числа: 2, 5, 8. 
получаем 
то есть 2, 4, 8, 12, так как 
получаем
и 
Значит, необходимы числа: 2, 6, 18 
...,
Тогда
Так как 
следовательно,
или 
Найдите знаменатель прогрессии.
причем 
для любого номера 
Таким образом, b1 и q являются натуральными числами. По условию 
и 
то 
при 
которое не имеет натуральных решений (дискриминант 
равен 5 при 
и равен 53 при m = 1.
которое не имеет натуральных решений (D = 29).
откуда q2 = 9 и q = 3. При этом 
где 
При этом 
которое не имеет натуральных решений (D = 153).
откуда q2 = 4, т. е. q = 2. При этом 
откуда q2 = 16, т. е. q = 4. При этом 
то 
где 
и 
и 
число 
делится на 3 , то 
не делится на 3, и 
является иррациональным числом. Следовательно, уравнение 
Найдите знаменатель прогрессии.
или 
при любом 
есть нечетное число, следовательно, 
а 
а 
то 
и 
образуют арифметическую прогрессию?
то есть 
Тогда
Три числа составляют геометрическую прогрессию. Если второй член увеличить на 8, то данная прогрессия обратится в арифметическую, но если затем третий член полученной прогрессии будет увеличен на 64, то она опять обратится в геометрическую. Найдите эти числа.
где 
тогда 
и 
или 
Три числа, сумма которых 114, являются, с одной стороны, тремя последовательными членами геометрической прогрессии, а с другой — первым, четвертым и двадцать пятым членами арифметической прогрессии соответственно. Найдите эти числа.
или 
а 
Так 
найдем 
Тогда
Первый член прогрессии равен 
Тогда 
и 
Значит,
принимает наибольшее значение, если 
а 
Так 
найдем 
Тогда 
а первый член 
и 
Необходимо найти a11. Тогда
пятый член 
Найти третий член и сумму первых четырех членов.
и 
Необходимо найти b3 и S4. Тогда
то есть 
и 
Следовательно, 
При 
имеем 
и 
являются делителями числа 13, причем возможны следующие четыре случая: 
этому условию удовлетворяют решения системы 4): 
Таким образом, 
или 
Отсюда получаем 
а семнадцатый 
и 
Необходимо найти S12. Тогда
и 
следовательно,