РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1400 Добавить в вариант

Найдите все трехзначные числа, в которых количества сотен, десятков и единиц образуют:

1)  арифметическую прогрессию;

2)  геометрическую прогрессию.

Спрятать решение

Решение.

Пусть $N=\overlinea b c,$ следовательно, количество сотен  — a, десятков  — $\overlinea b=10 a плюс b,$ а единиц  — $100 a плюс 10 b плюс c.$

1)  Если

$2 левая круглая скобка 10 a плюс b правая круглая скобка =a плюс 100 a плюс 10 b плюс c равносильно 20 a плюс 20 b=101 a плюс 10 b плюс c,$

следовательно, $0=81 a плюс 8 b плюс c,$ что невозможно.

2)  Если

$левая круглая скобка 10 a плюс b правая круглая скобка в квадрате =a левая круглая скобка 100 a плюс 10 b плюс c правая круглая скобка равносильно 100 a в квадрате плюс 20 a b плюс b в квадрате =100 a в квадрате плюс 10 a b плюс a c равносильно$
$равносильно 10 a b плюс b в квадрате =a c b в квадрате =a левая круглая скобка c минус 10 b правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 10 a плюс b правая круглая скобка в квадрате =a левая круглая скобка 100 a плюс 10 b плюс c правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 100 a в квадрате плюс 20 a b плюс b в квадрате =100 a в квадрате плюс 10 a b плюс a c равносильно$
$равносильно 10 a b плюс b в квадрате =a c b в квадрате =a левая круглая скобка c минус 10 b правая круглая скобка ,$

следовательно, $c минус 10 b больше или равно 0,$ но $c минус 10 b меньше или равно 0,$ так как c и b  — цифры, значит, $b=c=0,$ тогда a  — любое.

Ответ: 1) нет таких чисел; 2) 9 чисел: 100, 200, ..., 900.

Межрегиональная олимпиада школьников по математике САММАТ, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Алгебра. Прогрессии

Спрятать решение · Помощь