Всего: 183 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 …
Добавить в вариант
Найдите объем тетраэдра KLMN. Ответ при необходимости округлите до сотых.
Грани тетраэдра SABC являются равными треугольниками (такой тетраэдр называется равногранным). Проведём через каждое его ребро плоскость, параллельную противоположному ребру (рис. 2). Эти шесть плоскостей однозначно определяют параллелепипед, называемый сопровождающим для тетраэдра SABC. Ребра тетраэдра являются диагоналями граней параллелепипеда, а ребра параллелепипеда равны отрезкам, соединяющим центры противоположных граней параллелепипеда (середины скрещивающихся рёбер тетраэдра). Поскольку противоположные ребра тетраэдр равны, диагонали параллельных граней сопровождающего параллелепипеда также равны, поэтому его грани являются прямоугольниками, а сам параллелепипед прямоугольный. Обозначив длины ребер параллелепипеда через x, y, z, получаем 
Складывая три этих равенства, находим 
и 
Заметим также, что рёбра SC и AB используются в рассуждениях равнозначно, поэтому 
— ортогональные проекции точек A, B, F, G, K, N на плоскость П, точка Q — ортогональная проекция точек S и C, отрезок QR лежит в плоскости П, и так как R — середина AB, то R — середина 
и аналогично E середина 
а R — середина 
перпендикулярна QR и 
перпендикулярна QR. Значит, 
получаем 
и 
треугольников BSC и ASB соответственно, а также длины отрезков 
Далее найти угол B в треугольнике ABC, а затем отрезок 
из треугольника 
В треугольнике 
по теореме косинусов найти угол S и, зная, в каком отношении точки K и L делят биссектрисы 
найти отрезки SK и SL. Наконец, из треугольника SKL найти длину KL. Остальные̄ рēбра тетраэдра KLMN находятся аналогично.
Найдите объем тетраэдра ABCD. Ответ при необходимости округлите до сотых.
Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если площадь ее диагонального сечения равна 
то 
Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если площадь ее диагонального сечения равна 8.
?
и 
Такой прямоугольный параллелепипед легко умещается в коробке с размерами 
Найдите объем правильной треугольной пирамиды, середина высоту которой удалена от боковой грани и от бокового ребра на расстояния 2 и 
соответственно. При необходимости округлите ответ до двух знаков после запятой.
где 
а расстояние от H до прямой SA равно 
где 
Обозначим 
и 
и
Найдите объем правильной треугольной пирамиды, середина высоту которой удалена от боковой грани и от бокового ребра на расстояния 2 и 
соответственно. При необходимости округлите ответ до двух знаков после запятой.
Через вершину правильного тетраэдра с ребром a проведена плоскость так, что линия её пересечения с плоскостью основания параллельная стороне и делит основание на две равновеликие части. С помощью циркуля и линейки построить квадрат, равновеликий площади сечения тетраэдра указанной плоскости.
следует, что
следовательно,
DN. 
—Основанием пирамиды TABC служит треугольник ABC, все стороны которого равны 
а высота пирамиды совпадает с боковым ребром TA. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, которая проходит через середину стороны основания AC, параллельна медиане AM боковой грани ATB и пересекает ребро AT в точке N, так что TN = 3AN, а расстояние от AM до секущей плоскости равно 
Пусть H — середина AB, 
и 
то 
следовательно, 
или 
прямую CE параллельную SF. Поскольку 
и 
отсюда 
Основанием пирамиды TABC служит треугольник ABC, все стороны которого равны 8, а высота пирамиды совпадает с боковым ребром TA. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, которая проходит через середину стороны основания AC, параллельна медиане AM боковой грани ATB и пересекает ребро AT в точке N, так что TN = 3AN, а расстояние от AM до секущей плоскости равно 
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S ребро основания равно 
угол наклона бокового ребра к плоскости равен 
Проводится сечение пирамиды плоскостью, параллельной AC и SD, причем так, что в это сечение можно вписать окружность. Найдите всевозможные значения радиусов этих окружностей. В ответ запишите сумму целых значений таких радиусов.
диагональ основания равна 
поэтому 
и боковые рёбра 
поэтому 
и
окружности равен отношению площади этого треугольника к его полупериметру: 
Отметим, что само значение 
здесь исключено, так как сечение AEC проходит через AC, а не параллельно AC, как требуется по условию (cм. замечание в конце решения). 
Тогда FR, GH и SB — параллельны между собой, так как AC перпендикулярна SB, то FR перпендикулярна GF. 
и 
и, так как 
то 
и 
и 
Таким образом, 
и сумма целых значений: 
Таким образом, в данной задаче засчитывался как ответ 12, так и ответ 16.В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S ребро основания равно 
угол наклона бокового ребра к плоскости равен Проводится сечение пирамиды плоскостью, параллельной AC и SB, причем так, что в это сечение можно вписать окружность. Найдите всевозможные значения радиусов этих окружностей. В ответ запишите сумму целых значений таких радиусов.
Основанием пирамиды TABC служит треугольник ABC, все стороны которого равны 
а высота пирамиды совпадает с боковым ребром TA. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины стороны основания AC и бокового ребра TB и параллельной медиане TD боковой грани ATB, если расстояние между TD и секущей плоскостью равно 1.
Поскольку 
то 
Пусть 
Проведем через точки Z, D, F, B, W прямые, параллельные FE; X, G, E, H, Y — соответственно их точки пересечения со стороной AB. Очевидно,
то EFMN — искомое сечение. Поскольку прямые TG и SE параллельны, 
и 
то 
прямую SK перпендикулярную FE, 
прямую AP перпендикулярную SK, 
Поскольку 
прямая AP перпендикулярна плоскости (SFE), то длина PQ равна заданному в условии задачи расстоянию d между TD и секущей плоскостью. Тогда 
В треугольнике AFE имеем 
отсюда
В усеченной пирамиде A1B1C1ABC ребро AA1 перпендикулярно плоскости большего основания ABC, AB = AC = 5, BC = 6 и 
где D и D1 — середины отрезков BC и B1C1соответственно. Известно, что в эту усеченную пирамиду можно вписать шар. Найдите все возможные значения, которые может принимать радиус этого шара. В ответ впишите произведение этих значений, при необходимости округлив до двух знаков после запятой.
Тогда шар, вписанный в усечённую пирамиду, также вписан и в пирамиду SABC. Поэтому 
то 
опустим перпендикуляр 
на плоскость основания ABC (нижний. рис.). Обозначим 
Из 
следует, что 
находим 
или 
Искомое произведение равно 
В усеченной пирамиде A1B1C1ABC ребро AA1 перпендикулярно плоскости большего основания ABC, AB = AC = 10, BC = 12 и 
где D и D1 — середины отрезков BC и B1C1соответственно. Известно, что в эту усеченную пирамиду можно вписать шар. Найдите все возможные значения, которые может принимать радиус этого шара. В ответ впишите произведение этих значений, при необходимости округлив до двух знаков после запятой.
Основанием пирамиды TABC служит треугольник ABC, все стороны которого равны 4, а высота пирамиды совпадает с боковым ребром TA. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины стороны основания AC и бокового ребра TB и параллельной медиане TD боковой грани ATB, если расстояние между TD и секущей плоскостью равно 
Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 плоскостью, которая параллельна диагонали AC1 боковой грани AA1C1С, проходит через середину стороны AB основания ABC и точку M, лежащую на стороне B1C1, 
и прямую ME параллельную AC1, ME лежит в плоскости сечения. В плоскости основания ABC проводим прямую, соединяющую точку E с серединой D стороны AB, точка K — точка пересечения этой прямой со стороной BC. В плоскости основания A1B1C1 проводим прямую MN, параллельную DK. Точка N — точка пересечения прямой MN со стороной A1B1. Трапеция DKMN — искомое сечение.
Пусть Q — проекция точки M на основание ABC, 
Пусть G — проекция точки N на основание ABC. Поскольку GQ и DK параллельны, то 
и 
Проекцией сечения на плоскость основания ABC является трапеция DKQG, ее площадь 
где D — принадлежит плоскости сечения). 
Найдите объемы частей, на которые делит правильную треугольную призму ABCA1B1C1 плоскость, которая параллельна диагонали AC1 боковой грани AA1C1С, проходящая через середину стороны AB основания ABC и точку M, лежащую на стороне B1C1, если, расстояние от точки C до секущей плоскости равно 
а сторона основания призмы равна 
и 
Пусть Q — проекция точки M на основание ABC, 
Следовательно, 
где точка K принадлежит плоскости сечения).
Кристалл представляет собой октаэдр, образованный восемью правильными треугольниками со стороной 4. Начертить наикратчайший маршрут по внешней поверхности от точки «старт», расположенный в середине соответствующего ребра, до точки «финиш», найти длину этого маршрута и точку пересечения с преодолеваемым ребром.
где 
Расстояние между точками S и B равно 
и 
Таким образом, 
значит, 
показан на нижнем рисунке; его длина равна 
точка K делит ребро AC в отношении 1 : 2 (или 
Хранилище производственных отходов имеет форму правильной усеченной четырехугольной пирамиды, у которой стороны меньшего основания и боковые ребра имеют длину 2, а стороны большего основания равны 4, острые углы каждой грани равны 60 градусам. Найти наикратчайший маршрут по внутренней поверхности от середины бокового ребра до середины верхнего основания соседней грани, длину этого маршрута и точку пересечения с преодолеваемым ребром.
а в равностороннем треугольнике ODA стороны 
то есть, 
аналогично, 
и 
Таким образом, 
значит,
показан на нижнем рисунке; его длина равна 
точка H делит ребро CD в отношении 1 : 4 (или 