Окружность пересекает все стороны остроугольного треугольника ABC, периметр которого равен 4. Где a, b и c — отрезки касательных к этой окружности из вершин A, B и C. Докажите, что 
Решение. Из того, что треугольник остроугольный и окружность пересекает его в шести точках, следует, что центр окружности лежит внутри треугольника.
Пусть 
— точка касания касательной, выпущенной из точки A, ближайшей к точке B, O — центр окружности. Пусть X — точка пересечения отрезков AB и 
Аналогично 
— точка касания касательной, выпущенной из точки B, ближайшей к точке A, а Y — точка пересечения отрезков AB и 
При этом, точки A, X, Y, B находятся на отрезке именно в таком порядке, то есть
С другой стороны, треугольник 
прямоугольный с гипотенузой AX, поэтому 
Аналогично 
Отсюда получаем
Аналогично получаем 
и 
Таким образом, 
меньше полупериметра треугольника, то есть 1, что и требовалась доказать. На самом деле, мы доказали более сильное, строгое неравенство, вместо нестрогого, которое требовалось.
Критерии проверки:Если участник рисует правильную картинку, не требовать строго объяснения того, почему она именно такая.
Решения с неправильной картинкой (или решения без картинки, использующие неправильное расположение точек) не могут привести к доказательству, так как часть неравенств перестаёт быть справедлива. Соответственно, такие решения, скорее всего, помимо ошибок в картинке содержат ещё и ошибки в неравенствах и не должны быть засчитаны даже частично.
Аналоги к заданию № 604: 610 Все
