сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Окруж­ность пе­ре­се­ка­ет все сто­ро­ны ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, пе­ри­метр ко­то­ро­го равен 4. Где a, b и c — от­рез­ки ка­са­тель­ных к этой окруж­но­сти из вер­шин A, B и C. До­ка­жи­те, что a плюс b плюс c\leqslant2.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Из того, что тре­уголь­ник ост­ро­уголь­ный и окруж­ность пе­ре­се­ка­ет его в шести точ­ках, сле­ду­ет, что центр окруж­но­сти лежит внут­ри тре­уголь­ни­ка.

Пусть A в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка   — точка ка­са­ния ка­са­тель­ной, вы­пу­щен­ной из точки A, бли­жай­шей к точке B, O  — центр окруж­но­сти. Пусть X  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков AB и O A в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка . Ана­ло­гич­но B в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка   — точка ка­са­ния ка­са­тель­ной, вы­пу­щен­ной из точки B, бли­жай­шей к точке A, а Y  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков AB и O B в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка . При этом, точки A, X, Y, B на­хо­дят­ся на от­рез­ке имен­но в таком по­ряд­ке, то есть

A X плюс Y B мень­ше A B.

С дру­гой сто­ро­ны, тре­уголь­ник A A в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка X минус пря­мо­уголь­ный с ги­по­те­ну­зой AX, по­это­му A X боль­ше A A в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка =a . Ана­ло­гич­но B Y боль­ше B B в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка =b . От­сю­да по­лу­ча­ем

a плюс b мень­ше A X плюс B Y мень­ше A B .

Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем a плюс c мень­ше A C и b плюс c мень­ше B C . Таким об­ра­зом, a плюс b плюс c мень­ше по­лу­пе­ри­мет­ра тре­уголь­ни­ка, то есть 1, что и тре­бо­ва­лась до­ка­зать. На самом деле, мы до­ка­за­ли более силь­ное, стро­гое не­ра­вен­ство, вме­сто не­стро­го­го, ко­то­рое тре­бо­ва­лось.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Если участ­ник ри­су­ет пра­виль­ную кар­тин­ку, не тре­бо­вать стро­го объ­яс­не­ния того, по­че­му она имен­но такая.

Ре­ше­ния с не­пра­виль­ной кар­тин­кой (или ре­ше­ния без кар­тин­ки, ис­поль­зу­ю­щие не­пра­виль­ное рас­по­ло­же­ние точек) не могут при­ве­сти к до­ка­за­тель­ству, так как часть не­ра­венств пе­ре­стаёт быть спра­вед­ли­ва. Со­от­вет­ствен­но, такие ре­ше­ния, ско­рее всего, по­ми­мо оши­бок в кар­тин­ке со­дер­жат ещё и ошиб­ки в не­ра­вен­ствах и не долж­ны быть за­счи­та­ны даже ча­стич­но.


Аналоги к заданию № 604: 610 Все