Из того, что тре­уголь­ник ост­ро­уголь­ный и окруж­ность пе­ре­се­ка­ет его в шести точ­ках, сле­ду­ет, что центр окруж­но­сти лежит внут­ри тре­уголь­ни­ка.

Пусть   — точка ка­са­ния ка­са­тель­ной, вы­пу­щен­ной из точки A, бли­жай­шей к точке B, O  — центр окруж­но­сти. Пусть X  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков AB и Ана­ло­гич­но   — точка ка­са­ния ка­са­тель­ной, вы­пу­щен­ной из точки B, бли­жай­шей к точке A, а Y  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков AB и При этом, точки A, X, Y, B на­хо­дят­ся на от­рез­ке имен­но в таком по­ряд­ке, то есть

С дру­гой сто­ро­ны, тре­уголь­ник   — пря­мо­уголь­ный с ги­по­те­ну­зой по­это­му Ана­ло­гич­но От­сю­да по­лу­ча­ем

Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем и Таким об­ра­зом, мень­ше по­лу­пе­ри­мет­ра тре­уголь­ни­ка, то есть 1, что и тре­бо­ва­лась до­ка­зать. На самом деле, мы до­ка­за­ли более силь­ное, стро­гое не­ра­вен­ство, вме­сто не­стро­го­го, ко­то­рое тре­бо­ва­лось.