а) Найдите все такие значения a и b, что система неравенств
имеет единственное решение.
б) Докажите, что кривая
делит единичную окружность на восемь равных дуг.
в) Докажите, что при любом натуральном k уравнение разрешимо в целых числах.
Решение. а) Изобразим на плоскости множества, заданные неравенствами и (замена ). Ясно (см. рис.), что они имеют единственную общую точку лишь при
Ответ: и b — любое.
б) Перейдя к полярным координатам и после несложных преобразований получим уравнение поэтому данная кривая состоит из восьми проходящих через начало координат прямых. Угол между соседними прямыми равен
в) Пусть тогда числа и целые.
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
---|---|
Верное и полное выполнение задания | 3 |
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
Остальные случаи | 0 |
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |