РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Поиск
?

в условии в решении в тексте к заданию в атрибутах
Скопировать ссылку на результаты поиска
Класс: 10 11 6 7 8 9
Атрибут

Всего: 114 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–114

Добавить в вариант

Тип 0 № 6566 Добавить в вариант

Выясните, может ли уравнение $x в квадрате плюс px плюс q=0$ иметь целые корни, если p и q целые нечетные.

Решение · Помощь

Тип 0 № 6570 Добавить в вариант

Рассматривается многочлен

$a в квадрате x в степени 4 плюс 2abx в кубе плюс левая круглая скобка 2ac плюс b в квадрате правая круглая скобка x в квадрате плюс 2bcx плюс c в квадрате ,$

в котором коэффициент c и сумма $a плюс b плюс c$   — нечетные целые числа. Могут ли корни такого многочлена быть целыми числами?

Решение · Помощь

Тип 0 № 6834 Добавить в вариант

Барон Мюнхгаузен придумал теорему: если многочлен $x в степени n минус ax в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс bx в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка плюс ...$ имеет n натуральных корней, то на плоскости найдутся a прямых, у которых ровно b точек пересечения друг с другом. Не ошибается ли барон?

(Фёдор Ивлев)

Решение · Помощь

Тип 0 № 6991 Добавить в вариант

Можно ли расставить в таблице 7 × 9 числа от 1 до 63 так, чтобы в каждом квадрате 2 × 2 сумма чисел была нечетна?

(А. Храбров)

Решение · Помощь

Тип 0 № 7005 Добавить в вариант

Клетчатый квадрат 1024 × 1024 разрезан на квадраты 324 × 32. Можно ли раскрасить все его клетки в 512 цветов так, чтобы в каждой строке, в каждом столбце и в каждом из получившихся квадратов 32 × 32 каждый цвет встречался ровно два раза?

Решение.

Докажем следующую лемму. Пусть квадрат $n в квадрате \times n в квадрате$ разбит на $n в квадрате$ квадратов $n \times n .$ Все его клетки можно раскрасить в $n в квадрате$ цветов так, чтобы в каждой строчке, в каждом столбце и в каждом квадрате разбиения каждый цвет встречался ровно один раз (этот принцип используется в головоломках «судоку»).

Приведем одну из возможных конструкций раскраски (пример для $n=3$ показан на рисунке). Пусть A  — левый-верхний квадрат $n \times n .$ Покрасим его в $n в квадрате$ разных цветов. Теперь покрасим следующий справа квадрат $n \times n,$ сдвинув строчки квадрата A по циклу. Еще раз сдвинув их по циклу, покрасим следующий квадрат, и т. д.

Теперь покрасим следующие n строк. Для этого самый левый квадрат в них покрасим, сдвинув по циклу столбцы квадрата A. Следующие квадраты в этих строках покрасим, снова сдвигая строки по циклу.

Продолжая далее сверху вниз, покрасим весь квадрат. Пример раскраски квадрата $9 \times 9$ приведен на рисунке. Из доказанной леммы легко следует решение задачи. Раскрасим квадрат $1024 \times 1024$ в 1024 цвета, как требуется в лемме; затем разобьем все цвета на 512 пар, и в каждой паре заменим один из цветов на другой. Теперь в каждой строчке, в каждом столбце и в каждом квадрате все 512 цветов встречаются по два раза.

Ответ: можно.

Решение · Помощь

Тип 0 № 7019 Добавить в вариант

Клетки доски 100 × 100 раскрашены в чёрный и белый цвета в шахматном порядке. Можно ли перекрасить ровно 2018 различных клеток этой доски в противоположный цвет так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце оказалось одно и то же количество чёрных клеток?

(Ю. Чеканов)

Решение.

Решение 1. Ясно, что строки доски можно переставлять как угодно, и столбцы тоже. Переставим все нечётные столбы влево, а вое нечётные строки вниз. В итоге из исходной доски получится доска, разделённая на 4 одинаковых квадрата  — два противоположных из них белые, а остальные чёрные.

Пусть после перекраски в каждой строке и каждом столбце оказалось по $50 плюс k$ чёрных клеток; тогда в каждом столбце и в каждой строке перекрашено на k белых клеток больше, чем чёрных. Пусть в одном из чёрных квадратов перекрашено а клеток. По замечанию выше, в каждом из белых квадратов перекрашено по $a плюс 50 k$ клеток, а тогда в другом чёрном квадрате также перекрашено $левая круглая скобка a плюс 50 k правая круглая скобка минус 50 k=a$ клеток. Значит, общее число перекрашенных клеток равно

$2 a плюс 2 левая круглая скобка a плюс 50 k правая круглая скобка =4 левая круглая скобка a плюс 25 k правая круглая скобка ,$

то есть оно делится на 4 и потому не может равняться 2018.

Решение 2. Пронумеруем строки снизу вверх, а столбы справа налево, числами от 1 до 100 (пусть левая нижняя клетка чёрная). Тогда у каждой чёрной клетки чётная сумма координат, a у каждой белой  — нечётная.

Рассмотрим сумму координат всех чёрных клеток (до или после перекраски). Поскольку в каждой строке их поровну, сумма их ординат делится на $1 плюс 2 плюс \ldots плюс 100=5050,$ аналогично сумма абсцисс также делится на 5050. В частности, эта сумма до и после перекраски была чётной, то есть изменилась на чётное число.

С другой стороны, при перекраске исходно чёрной клетки в белый цвет наша сумма чётности не меняла, а при перекраске исходно белой в чёрный  — меняла. Это значит, что было перекрашено чётное количество белых клеток.

Пусть w и b  — количества перекрашенных исходно белых и исходно чёрных клеток, соответственно. Тогда $w плюс b=2018,$ а $w минус b$ делится на 4, поскольку как исходное, так и полученное количество чёрных клеток делится на 4. Значит,

$w= дробь: числитель: левая круглая скобка левая круглая скобка w плюс b правая круглая скобка плюс левая круглая скобка w минус b правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби$

нечётное число. Противоречие.

Ответ: нет.

Решение · Помощь

Тип 0 № 7065 Добавить в вариант

На острове живут рыцари, лжецы и подпевалы; каждый знает про всех, кто из них кто. В ряд построили всех 2018 жителей острова и попросили каждого ответить «Да» или «Нет» на вопрос: «На острове рыцарей больше, чем лжецов?». Жители отвечали по очереди и так, что их слышали остальные. Рыцари отвечали правду, лжецы лгали. Каждый подпевала отвечал так же, как большинство ответивших до него, а если ответов «Да» и «Нет» было поровну, давал любой из этих ответов. Оказалось, что ответов «Да» было ровно 1009. Какое наибольшее число подпевал могло быть среди жителей острова?

Решение.

Назовём рыцарей и лжецов принципиальными людьми.

Оценка. Приведём решение Бучаева Абдулкадыра.

Будем следить за балансом  — разностью количеств ответов «Да» и «Нет». В начале и в конце баланс нулевой, с каждым ответом он изменяется на 1. Нулевые значения баланса разбивают ряд жителей на группы. Внутри каждой группы баланс coxраняет знак. Подпевалы всегда увеличивают модуль баланса. Поэтому, чтобы сделать баланс нулевым, принципиальных жителей должно быть не меньше чем подпевал. Это справедливо для каждой группы, а значит, и для всех жителей острова.

Ответ: 1009 подпевал.

Приведём другое решение.

Подпевала не мог увеличивать минимум из текущих количеств «Да» и «Нет». Так как этот минимум увеличился от 0 до 1009, причём с каждым ответом он изменялся не более чем на единицу, то принципиальных жителей хотя бы 1009.

Пример. Сначала все 1009 подпевал сказали «Нет», а потом 1009 рыцарей сказали «Да».

Замечание.

Любой строй из 1009 принципиальных жителей можно проредить подпевалами так, чтобы выполнялось условие.

Решение · Помощь

Тип 0 № 7369 Добавить в вариант

Двадцать пять учеников класса, среди которых n мальчиков, сидят за большим круглым столом. Обязательно ли найдутся два мальчика, между которыми (по часовой стрелке) сидят ровно 4 человека, если а) $n=10;$ б) $n=11?$

Решение.

а)  Построим пример. Пронумеруем места за столом по часовой стрелке: 1, 2, ..., 25. Если 10 мальчиков сидят на местах 1, 2, 3, 4, 5 (первая группа) и 11, 12, 13, 14, 15 (вторая группа), то по часовой стрелке между мальчиками одной и той же группы сидит не больше трёх человек, между мальчиками первой и второй группы  — не меньше пяти человек, а между мальчиками второй и первой группы  — не меньше десяти человек.

б)  Будем считать, что все ученики сидят в вершинах правильного 25-угольннка, обозначим их A₁, A₂, ..., A₂₅. Они представляют собой вершины пяти правильных пятиугольников: первый из них  — пятиугольник A₁A₆A₁₁A₁₆A₂₁, а каждый следующий получается сдвигом на угол $дробь: числитель: 360 \% , знаменатель: 25 конец дроби$ по часовой стрелке (то есть номера вершин в каждом пятиугольнике дают одинаковые остатки при делении на 5). Поскольку мальчиков 11, а пятиугольников 5, то хотя бы три мальчика будут «вершинами» одного из пятиугольников. Но тогда в этом пятиугольнике из данных трёх вершин хотя бы две будут соседними. А в 25-угольнике эти две вершины и окажутся искомой парой, так как между ними (по часовой стрелке) ровно 4 вершины 25-угольннка.

Ответ: а) не обязательно; б) обязательно.

Решение · Помощь

Тип 0 № 7448 Добавить в вариант

На шахматной доске 8 на 8 отмечены две произвольные клетки. Верно ли, что доску всегда можно разрезать по линиям сетки на две одинаковых части, каждая из которых содержит по одной отмеченной клетке?

Решение.

Сначала разделим доску двумя средними линиями сетки на 4 квадрата 4 на 4 клетки. Если отмеченные клетки лежат в разных квадратах, то разрезав доску вдоль одной из средних линий, получим требуемое разбиение. Пусть теперь обе отмеченные клетки лежат в одном квадрате 4 на 4, можно считать его левым нижним. Либо номера горизонталей отмеченных клеток, либо номера их вертикалей должны различаться. В первом случае проведём в квадрате 4 на 4 горизонтальную линию сетки АВ, относительно которой одна отмеченная клетка лежит ниже, а другая  — выше. Затем проведём в правом верхнем квадрате 4 на 4 доски горизонтальную линию сетки CD, симметричную АВ относительно центра доски. Разрез доски по линиям сетки вдоль ломаной АВCD разбивает доску на две части, симметричных относительно центра доски, следовательно, равных. По построению. каждая из них содержит по одной отмеченной клетке. Случай, когда различаются номера вертикалей отмеченных клеток, рассматривается аналогично, здесь в качестве АВ выступает разделяющая их вертикаль левого нижнего квадрата 4 на 4, а CD  — отрезок сетки, симметричный АВ относительно центра.

Ответ: да.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 7490 Добавить в вариант

У каждого из девяти натуральных чисел n, 2n, 3n, ..., 9n выписали первую слева цифру. Может ли при некотором натуральном n среди девяти выписанных цифр быть не более четырёх различных?

(А. К. Толпыго)

Решение · Помощь

Тип 0 № 7700 Добавить в вариант

Существует ли прямоугольник, который можно разрезать на конечное число попарно неравных квадратов?

Решение · Помощь

Тип 0 № 7738 Добавить в вариант

Функция f(x) определена для всех вещественных x и удовлетворяет неравенству

$корень из: начало аргумента: 5 f левая круглая скобка x правая круглая скобка конец аргумента минус корень из: начало аргумента: 5 f левая круглая скобка x правая круглая скобка минус f левая круглая скобка 5 плюс x правая круглая скобка конец аргумента больше или равно 5$

при всех вещественных x. Верно ли, что $f левая круглая скобка x правая круглая скобка больше или равно 25$ для каждого вещественного x? Ответ объясните.

Решение · Помощь

Тип 0 № 7927 Добавить в вариант

В сообществе одной из социальных сетей 400 участников. Оказалось, что каждый член сообщества имеет ровно 300 друзей среди его участников. Обязательно ли найдётся 5 членов сообщества, каждый из которых дружит с каждым?

Аналоги к заданию № 7927: 7937 Все

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 7937 Добавить в вариант

В сообществе одной из социальных сетей 300 участников. Оказалось, что каждый член сообщества имеет ровно 200 друзей среди его участников. Обязательно ли найдётся 4 члена сообщества, каждый из которых дружит с каждым?

Аналоги к заданию № 7927: 7937 Все

Решение · Прототип задания · Критерии · Помощь

Тип 0 № 8166 Добавить в вариант

Перед началом урока учительница записала на доске следующую задачу: «В окружность радиуса r вписан равнобедренный треугольник, у которого сумма длин основания и высоты равна диаметру окружности. Найдите высоту треугольника». Однако двоечник Вася незаметно стер слово «диаметру» и вписал вместо него «длине». Сможет ли отличник Петя решить задачу с исправленным Васей условием?

Решение · Помощь

Тип 0 № 8173 Добавить в вариант

В треугольнике KIA на стороне KI отметили точку V такую, что KI  =  VA. Затем внутри треугольника отметили точку X такую, что угол XKI равен половине угла AVI, а угол XIK равен половине угла KVA. Пусть O  — точка пересечения прямой AX и стороны KI. Верно ли, что KO  =  VI?

Решение · Помощь

Тип 0 № 8176 Добавить в вариант

Положительные числа x, y, z таковы, что $x y плюс y z плюс z x=6.$ Верно ли, что

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента плюс x в квадрате левая круглая скобка y плюс z правая круглая скобка конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента плюс y в квадрате левая круглая скобка x плюс z правая круглая скобка конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента плюс z в квадрате левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: x y z конец дроби ?$

Решение · Помощь

Тип 0 № 8189 Добавить в вариант

На центральной клетке доски 11 × 11 стоит фишка. Петя и Вася играют в следующую игру. Каждым своим ходом Петя передвигает фишку на одну клетку по вертикали или горизонтали. Каждый своим ходом Вася возводит стенку с одной из сторон любой из клеток. Двигать фишку через стенку Петя не может. Игроки ходят по очереди, начинает Петя. Петя выигрывает, если сможет фишкой уйти с доски. Может ли он обеспечить себе победу вне зависимости от действий соперника?

Критерии проверки:

Общая схема:

0 баллов  — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;

1 балл  — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);

2 балла  — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;

3 балла  — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;

4 балла  — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.

Факторы, влияющие на оценку.

1.  Одна из основных целей Олимпиады  — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.

2.  Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.

3.  Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.

4.  Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.

5.  Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется

а)  до 1 балла, если это предположение можно доказать;

б)  до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;

в)  0 баллов, если оно противоречит условию.

6.  Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 8290 Добавить в вариант

Натуральное число n является произведением 2k простых чисел p₁, p₂, ..., p_2k в некоторых степенях, больших нуля. Может ли

$дробь: числитель: n, знаменатель: p_1 конец дроби минус дробь: числитель: n, знаменатель: p_2 конец дроби плюс умножить на s минус дробь: числитель: n, знаменатель: p_2 k конец дроби =0 ?$

Содержание критерия	Оценка	Баллы
Задача решена полностью	+	10
Решение задачи, содержит верную общую схему решения, но в результате описки или арифметической ошибки получен неверный ответ	±	7
Решение содержит значительное продвижение в верном направлении	+/2	5
Решение в целом неверное или незаконченное, но содержит определенное содержательное продвижение в верном направлении.	∓	2
Задача не решена, содержательных продвижений нет	−	0
Задача не решалась	0	0

Решение · Критерии · Помощь

Тип 21 № 8302 Добавить в вариант

Натуральное число n является произведением $2 k плюс 1$ простых чисел p₁, p₂, ..., p_2k + 1 в некоторых степенях, больших нуля. Может ли

Содержание критерия	Оценка	Баллы
Задача решена полностью	+	10
Решение задачи, содержит верную общую схему решения, но в результате описки или арифметической ошибки получен неверный ответ	±	7
Решение содержит значительное продвижение в верном направлении	+/2	5
Решение в целом неверное или незаконченное, но содержит определенное содержательное продвижение в верном направлении.	∓	2
Задача не решена, содержательных продвижений нет	−	0
Задача не решалась	0	0

Решение · Критерии · Помощь

Всего: 114 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–114