Всего: 179 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 …
Добавить в вариант
?
В футбольном турнире играли семь команд: каждая команда по одному разу сыграла с каждой. В следующий круг отбираются команды, набравшие тринадцать и более очков. За победу дается 3 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0 очков. Какое наибольшее количество команд может выйти в следующий круг?
игра, в каждой из которых разыгрывалось 2 или 3 очка. Следовательно, максимальное количество очков, которое суммарно может быть у всех команд это 
Значит, количество вышедших в следующий этап команд n удовлетворяет неравенству 
откуда 
В футбольном турнире играли восемь команд: каждая команда по одному разу сыграла с каждой. В следующий круг отбираются команды, набравшие пятнадцать и более очков. За победу даётся 3 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0 очков. Какое наибольшее количество команд может выйти в следующий круг?
игр, в каждой из которых разыгрывалось 2 или 3 очка. Следовательно, максимальное количество очков, которое суммарно может быть у всех команд это 
Значит, количество вышедших в следующий этап команд n удовлетворяет неравенству 
откуда 
является квадратом натурального числа?
подходит. Пусть 
тогда при 
является квадратом натурального числа?
тогда при 
Точка O лежит внутри равнобедренного прямоугольного треугольника ABC. Расстояние от нее до вершины A прямого угла равно 6, до вершины B равно 4, до вершины C равно 8. Найти площадь треугольника ABC.
Получаем четырёхугольник OADB, в котором 
(см. чертёж). Дальше можно рассуждать несколькими способами. 
учитывая, что 
и 
то есть 
откуда 
Подставляя 
в первое уравнение, получаем 
Поскольку (см. чертёж) точка B должна лежать по ту же сторону от прямой ОА, что и точка D, то 
поэтому подходит только корень 
откуда 
Наконец, 
Обозначим 
Тогда по теореме косинусов для треугольника ОDB имеем 
и 
По теореме косинусов для треугольников OAB и OAC имеем: 
Заметим, что 
и в этом случае 
то есть точка O не будет лежать внутри треугольника, поэтому 
Простым счётом углов убеждаемся, что 
Точка O лежит внутри равнобедренного прямоугольного треугольника ABC. Расстояние от нее до вершины A прямого угла равно 5, до вершины B равно 7, до вершины C равно 3. Найти площадь треугольника ABC.
Получаем четырёхугольник OADB, в котором 
и 
тот есть
откуда 
Подставляя 
в первое уравнение, получаем
Обозначим 
Тогда по теореме косинусов для треугольника ODB имеем 
По теореме косинусов для треугольников OAB и OAC имеем: 
Заметим, что 
и в этом случае 
не будет лежать внутри треугольника, поэтому 
Решите уравнение 
тогда и только тогда, когда найдётся такое число y, что выполнена система 
откуда или 
или 
Подставим y в первое уравнение системы. В первом случае получим уравнении 
откуда 
или 
Во втором случае получим уравнение 
откуда 
—
Решите уравнение 
откуда или 
откуда 
Во втором случае получим уравнение 
откуда 
при условии 
тогда и только тогда, когда существует некоторое 
такое, что 
Тогда выражение из условия приобретает вид 
тогда 
и 
a 
выражение (*) принимает все значения из промежутка 
тогда 
и 
выражение (*) принимает все значения из промежутка 
тогда 
a 
выражение (*) принимает все значения из промежутка 
тогда 
и 
a 
выражение (*) принимает все значения из промежутка 
при условии 
Дан треугольник ABC. На отрезках AB и BC выбраны точки X и Y соответственно так, что AX = BY. Оказалось, что точки A, X, Y и C лежат на одной окружности. Пусть BL — биссектриса треугольника ABC (L на отрезке AC). Докажите, что прямые XL и BC параллельны.
или 
Из того, что прямые XL и BC параллельны, следует, что 
Тогда 
Дан треугольник ABC. На отрезках AB и BC выбраны точки X и Y соответственно так, что AX = BY. Оказалось, что точки A, X, Y и C лежат на одной окружности. Пусть L — такая точка на отрезке AC, что прямые XL и BC параллельны. Докажите, что BL — биссектриса треугольника ABC.
и 
Поскольку у уравнения должно быть два различных корня, получаем следующие условия: 
Сумма квадратов x1 и x2 должна быть больше 4, то есть 
Пересекая все четыре полученных условия, получаем ответ.
и 
Поскольку у уравнения должно быть два различных корня, получаем следующие условия: 
значит,
Пересекая все пять полученных условий, получаем ответ.
В школе имеется три кружка: по математике, по физике и по информатике. Директор как-то заметил, что среди участников кружка по математике ровно 
часть ходит ещё и на кружок по физике, а 
часть — на кружок по информатике; среди участников кружка по физике ровно 
часть ходит ещё и на кружок по математике, а ровно 
—
часть ходит на кружок по математике. А какая часть участников кружка по информатике ходит на кружок по физике?
тогда участников кружка по математике 
а детей, которые ходят одновременно на кружок по математике и по физике — 
тогда участников кружка по физике 
а детей, которые ходят одновременно на кружок по информатике и по физике — 
В лагерь приехали школьники, среди которых были Петя, Вася и Тимофей, не знакомые друг с другом, однако у каждого из которых были знакомые среди приехавших детей. Петя заметил, что ровно 
его знакомых знакома с Васей, а ровно — с Тимофеем; Вася заметил, что его знакомых знакомы с Петей, а — c Тимофеем; наконец, Тимофей заметил, что ровно его знакомых знакомы с Петей. А какую часть среди знакомых Тимофея составляют знакомые Васи?
знакомых Пети тогда 
а общих знакомых Пети и Васи — 
знакомых Васи тогда 
а общих знакомых Васи и Тимофея тогда — 
Назовём горой усечённый прямой круговой конус с длиной окружности нижнего основания 8, а верхнего основания — 6. Склон горы наклонён под углом 60° к плоскости основания. На окружности нижнего основания лежит точка A. Турист начинает подъём по склону из точки A к ближайшей точке верхнего основания, а затем продолжает свой путь по краю верхнего основания, и проходит расстояние 2 (см. рис). После этого он возвращается в точку A кратчайшим маршрутом. Чему равна длина обратного пути?
обозначим за α.
и 
относятся 2 : 1. Это значит, что 
а потому точка C1 лежит на прямой QC2. Учитывая, что QD — диаметр, получаем, что C1 — основание перпендикуляра, опущенного из точки D на прямую QC2. Тогда длина маршрута, идущего по верхнему основанию (см. верхний рис.) из C в D и по боковой поверхности из D в A будет не меньше длины ломаной (см. нижний рис.) C1DA1 и не меньше длины перпендикуляра, опущенного из A1 на прямую QC2.
Тогда отношение QC2 к QA1 равно отношению длин окружностей нижнего и верхнего оснований и равно 
что больше 
Значит, проекция QA1 на прямую QC2 меньше длины отрезка QC2, что и требовалось. 
Тогда 
Назовём горой усечённый прямой круговой конус с длиной окружности нижнего основания 10, а верхнего основания — 9. Склон горы наклонён под углом 60° к плоскости основания. На окружности нижнего основания лежит точка A. Турист начинает подъём по склону из точки A к ближайшей точке верхнего основания, а затем продолжает свой путь по краю верхнего основания, и проходит расстояние 3 (см. рис). После этого он возвращается в точку A кратчайшим маршрутом. Чему равна длина обратного пути?
и 
относятся 2 : 1. Это значит, что 
что больше 
Тогда 
