Пусть d_n  — n-й член про­грес­сии, d  — раз­ность про­грес­сии,

сумма пер­вых n чле­нов про­грес­сии.

Вы­ра­зим d₁ через S₃ и S₆. За­ме­тим, что

от­ку­да По усло­вию От­сю­да Так как S₃ и S₆ по усло­вию  — на­ту­раль­ные числа, то наи­мень­шее зна­че­ние ве­ли­чи­ны равно 5 (оно до­сти­га­ет­ся, на­при­мер, при По­это­му

Ответ:

Пусть c_n  — n-й член про­грес­сии, d  — раз­ность про­грес­сии,   — сумма пер­вых n чле­нов про­грес­сии.

Вы­ра­зим c₁ через S₃ и S₇. За­ме­тим, что от­ку­да По усло­вию

От­сю­да Так как S₃ и S₇ по усло­вию  — на­ту­раль­ные числа, то наи­мень­шее зна­че­ние ве­ли­чи­ны равно 5 (оно до­сти­га­ет­ся, на­при­мер, при По­это­му

Ответ:

Сумма чисел от 7 до 17 равна 132. Если сте­реть хотя бы одно число, то сумма остав­ших­ся чисел не пре­вос­хо­дит 125 . Да­вай­те по­сле­до­ва­тель­но пе­ре­би­рать ва­ри­ан­ты:

1)  если сумма 125, то сте­реть Саша мог толь­ко число 7: тогда остав­ши­е­ся числа можно раз­бить на пять групп с сум­мой 25:

2)  если сумма 124, то сте­реть Саша мог толь­ко число 8: тогда остав­ши­е­ся числа можно раз­бить на две груп­пы с сум­мой 62:

3)  если сумма 123, то сте­реть Саша мог толь­ко число 9: тогда остав­ши­е­ся числа можно раз­бить на три груп­пы с сум­мой 41:

4)  если сумма 122, то сте­реть Саша мог толь­ко число 10; тогда остав­ши­е­ся числа можно раз­бить на две груп­пы с сум­мой 61:

5)  если Саша стёр число 11, то на доске оста­лись числа с сум­мой 121: их можно было бы раз­бить или на 11 групп с сум­мой 11, или на 121 груп­пу с сум­мой 1; но в какую-то груп­пу попадёт число 17, по­это­му сумма в этой груп­пе будет хотя бы 17; зна­чит, в этом слу­чае раз­бить числа на груп­пы с оди­на­ко­вой сум­мой не по­лу­чит­ся.

Ответ: 121.

Сумма чисел от 9 до 22 равна 217. Если сте­реть хотя бы одно число, то сумма остав­ших­ся чисел не пре­вос­хо­дит 208. Да­вай­те по­сле­до­ва­тель­но пе­ре­би­рать ва­ри­ан­ты:

1)  если сумма 208, то сте­реть Даша могла толь­ко число 9; тогда остав­ши­е­ся числа можно раз­бить на две груп­пы с сум­мой 104:

2)  если сумма 207, то сте­реть Даша могла толь­ко число 10; тогда остав­ши­е­ся числа можно раз­бить на три групп с сум­мой 69:

3)  если сумма 206, то сте­реть Даша могла толь­ко число 11: тогда остав­ши­е­ся числа можно раз­бить на две груп­пы с сум­мой 103:

4)  если сумма 205, то сте­реть Даша могла толь­ко число 12; тогда остав­ши­е­ся числа можно раз­бить на пять груп­пы с сум­мой 41:

5)  если сумма 204, то сте­реть Даша могла толь­ко число 13; тогда остав­ши­е­ся числа можно раз­бить на две груп­пы с сум­мой 102:

5)  если Даша стёрла число 14, то на доске оста­лись числа с сум­мой 203: их можно было бы раз­бить или на 7 групп с сум­мой 29, или на 29 групп с сум­мой 7, или на 203 груп­пы с сум­мой 1; в какую-то груп­пу попадёт число 22; по­сколь­ку ва­ри­ан­тов с сум­мой 22 у нас нет, то в эту груп­пу попадёт ещё хотя бы одно число: по­это­му сумма в этой груп­пе будет хотя бы 31; зна­чит, в этом слу­чае раз­бить числа на груп­пы с оди­на­ко­вой сум­мой не по­лу­чит­ся.

Ответ: 203.

Для на­ча­ла до­ка­жем, что про­дол­жи­тель­но­сти опе­ра­ций в опе­ра­ци­он­ных I, II и III нель­зя опре­де­лить од­но­знач­но. Дей­стви­тель­но, не­слож­но про­ве­рить, что если про­дол­жи­тель­но­сти опе­ра­ций равны 70, 39, 33, 10 или 56, 54, 32, 10 минут, то все усло­вия за­да­чи вы­пол­ня­ют­ся. Од­на­ко в этих двух ва­ри­ан­тах про­дол­жи­тель­но­сти опе­ра­ций в опе­ра­ци­он­ных I, II и III раз­лич­ны.

Те­перь до­ка­жем, что про­дол­жи­тель­ность опе­ра­ции в опе­ра­ци­он­ной IV можно од­но­знач­но вос­ста­но­вить. Для этого да­вай­те за­ме­тим, что сум­мар­ная про­дол­жи­тель­ность опе­ра­ций за 40 и за 30 минут до конца опе­ра­ций вы­рос­ла на 22 ми­ну­ты. Это зна­чит, что за 30 минут до конца опе­ра­ции в опе­ра­ци­он­ных I, II и III уже шли, иначе сум­мар­ная про­дол­жи­тель­ность уве­ли­чи­лась бы не более чем на 20 минут. Тогда к концу всех опе­ра­ций их сум­мар­ная про­дол­жи­тель­ность со­став­ля­ет ми­ну­ты. Зна­чит, опе­ра­ция в опе­ра­ци­он­ной IV дли­лась минут.

Ответ: можно опре­де­лить толь­ко про­дол­жи­тель­ность опе­ра­ции в опе­ра­ци­он­ной IV.

Ком­мен­та­рий.

Про­дол­жи­тель­но­сти опе­ра­ций могут быть равны в ми­ну­тах где или где

Для на­ча­ла до­ка­жем, что про­дол­жи­тель­но­сти опе­ра­ций в опе­ра­ци­он­ных 1, 2 и 3 нель­зя опре­де­лить од­но­знач­но. Дей­стви­тель­но, не­слож­но про­ве­рить, что если про­дол­жи­тель­но­сти опе­ра­ций равны 58, 29, 27, 13 или 46, 45, 23, 13 минут, то все усло­вия за­да­чи вы­пол­ня­ют­ся. Од­на­ко в этих двух ва­ри­ан­тах про­дол­жи­тель­но­сти опе­ра­ций в опе­ра­ци­он­ных 1, 2 и 3 раз­лич­ны.

Те­перь до­ка­жем, что про­дол­жи­тель­ность опе­ра­ции в опе­ра­ци­он­ной 4 можно од­но­знач­но вос­ста­но­вить. Для этого да­вай­те за­ме­тим, что сум­мар­ная про­дол­жи­тель­ность опе­ра­ций за 33 и за 18 минут до конца опе­ра­ций вы­рос­ла на 35 минут. Это зна­чит, что за 18 минут до конца опе­ра­ции в опе­ра­ци­он­ных 1, 2, 3 уже шли, иначе сум­мар­ная про­дол­жи­тель­ность уве­ли­чи­лась бы не более чем на 30 минут. Тогда к концу всех опе­ра­ций их сум­мар­ная про­дол­жи­тель­ность со­став­ля­ет ми­ну­ты. Зна­чит, опе­ра­ция в опе­ра­ци­он­ной 4 дли­лась минут.

Ответ: можно опре­де­лить толь­ко про­дол­жи­тель­ность опе­ра­ции в опе­ра­ци­он­ной 4.

Ком­мен­та­рий.

Про­дол­жи­тель­но­сти опе­ра­ций могут быть равны в ми­ну­тах где или где

Обо­зна­чим Пусть G  — точка пе­ре­се­че­ния меди ан тре­уголь­ни­ка ABC. Пред­ста­вим

тогда

По­сколь­ку G  — центр тя­же­сти тре­уголь­ни­ка ABC, то

и

Таким об­ра­зом,

или

Итак, гео­мет­ри­че­ским ме­стом точек X, удо­вле­тво­ря­ю­щих по­став­лен­но­му усло­вию, яв­ля­ет­ся круг ра­ди­у­са

с цен­тром в точке пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка ABC.

Этот круг при­над­ле­жит тре­уголь­ни­ку, если его ра­ди­ус не боль­ше, чем одна треть наи­мень­шей из высот тре­уголь­ни­ка ABC:

Зна­чит, при вы­пол­не­нии усло­вия

ис­ко­мая пло­щадь равна

По фор­му­ле Ге­ро­на най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка:

Вы­чис­лим

По­сколь­ку усло­вие (*) вы­пол­ня­ет­ся:

Зна­чит, ответ:

Ответ:

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Вы­со­та тре­уголь­ни­ка, про­ве­ден­ная к сто­ро­не длины 4, равна 4. Ос­но­ва­ние вы­со­ты делит эту сто­ро­ну на от­рез­ки, рав­ные 1 и 3. Вве­дем си­сте­му ко­ор­ди­нат так, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Тогда Тогда

Пе­ре­пи­шем не­ра­вен­ство так:

Оно опре­де­ля­ет круг ра­ди­у­са с цен­тром в точке По­ка­жем, что все точки этого круга при­над­ле­жат тре­уголь­ни­ку ABC. Для этого най­дем рас­сто­я­ния от точки K до сто­рон тре­уголь­ни­ка. Урав­не­ние сто­ро­ны AB: рас­сто­я­ние до неё равно

Урав­не­ние сто­ро­ны BC: рас­сто­я­ние

И paccто­я­ние от точки K до сто­ро­ны AC равно, оче­вид­но, Наи­мень­шее из рас­сто­я­ний d₂, тем не менее, боль­ше, чем ра­ди­ус круга R: По­это­му весь круг и яв­ля­ет­ся той фи­гу­рой, пло­щадь ко­то­рой тре­бу­ет­ся найти, от­ку­да

Обо­зна­чим

Пусть G  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка XYZ. Пред­ста­вим

тогда

По­сколь­ку G  — центр тя­же­сти тре­уголь­ни­ка XYZ, то и

Таким об­ра­зом,

или

Итак, гео­мет­ри­че­ским ме­стом точек A, удо­вле­тво­ря­ю­щих по­став­лен­но­му усло­вию, яв­ля­ет­ся круг ра­ди­у­са

с цен­тром в точке пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка XYZ.

Этот круг при­над­ле­жит тре­уголь­ни­ку, если его ра­ди­ус не боль­ше, чем одна треть наи­мень­шей из высот тре­уголь­ни­ка XYZ:

Зна­чит, при вы­пол­не­нии усло­вия

ис­ко­мая пло­щадь равна

По фор­му­ле Ге­ро­на най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка:

Вы­чис­лим

По­сколь­ку усло­вие (*) вы­пол­ня­ет­ся:

Зна­чит, ответ:

Ответ:

При­ве­дем дру­гое ре­ше­нии.

Вы­со­та тре­уголь­ни­ка, про­ве­ден­ная к сто­ро­не длины равна 1. Ос­но­ва­ние вы­со­ты делит эту сто­ро­ну на от­рез­ки, рав­ные и Вве­дем си­сте­му ко­ор­ди­нат так, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Тогда Зна­чит,

Пе­ре­пи­шем не­ра­вен­ство так:

Оно опре­де­ля­ет круг ра­ди­у­са с цен­тром в точке По­ка­жем, что все точки этого круга при­над­ле­жат тре­уголь­ни­ку XYZ. Для этого най­дем рас­сто­я­ния от точки K до сто­рон тре­уголь­ни­ка. Урав­не­ние сто­ро­ны XY: рас­сто­я­ние до нее равно

Урав­не­ние сто­ро­ны YZ: paccтоние

Paccто­я­ние от точки K до сто­ро­ны XZ, оче­вид­но, яв­ля­ет­ся наи­мень­шим из трех и равно По­это­му круг при­над­ле­жит тре­уголь­ни­ку, от­сю­да ис­ко­мая пло­щадь равна

За­ме­тим, что для каж­до­го x, а

для каж­до­го y. По­это­му левая часть урав­не­ния боль­ше или равна при­том ра­вен­ство до­сти­га­ет­ся толь­ко при и Это и дает ответ.

Ответ:

За­ме­тим, что для каж­до­го x, а

для каж­до­го y. По­это­му левая часть урав­не­ния боль­ше или равна при­том ра­вен­ство до­сти­га­ет­ся толь­ко при и Это и даёт ответ.

Ответ:

Из фор­му­лы

вы­ра­зим про­из­ве­де­ние тан­ген­сов:

Тогда

Скла­ды­вая эти ра­вен­ства для всех k от 1 до 2019 по­лу­ча­ем, что вы­ра­же­ние из усло­вия равно

За­ме­тим, что

а зна­чит (*) рав­ня­ет­ся −2021.

Ответ: −2021.

Из фор­му­лы

вы­ра­зим про­из­ве­де­ние тан­ген­сов:

Тогда

Скла­ды­вая эти ра­вен­ства для всех k от 1 до 2021 по­лу­ча­ем, что вы­ра­же­ние из усло­вия равно

За­ме­тим, что

а зна­чит (*) рав­ня­ет­ся −2021.

Ответ: −2021.

При­ме­няя поли но­ми­наль­ную фор­му­лу, по­лу­чим

Для того, чтобы опре­де­лить, какие сла­га­е­мые в сумме со­дер­жат x⁴, нужно ре­шить в не­от­ри­ца­тель­ных целых чис­лах си­сте­му урав­не­ний:

Из вто­ро­го урав­не­ния сле­ду­ет чётность n₂. В силу не от­ри­ца­тель­но­сти пе­ре­мен­ных n₂ может при­ни­мать зна­че­ния 0, 2 и 4. Решая си­сте­му для каж­до­го из дан­ных n₂, будем иметь три слу­чая:

1)  

2)  

3)  

В каж­дом из них ко­эф­фи­ци­ент при x⁴ вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле:

Тогда в каж­дом из пе­ре­чис­лен­ных слу­ча­ев будем иметь со­от­вет­ствен­но:

1)  

2)  

3)  

Таким об­ра­зом, ко­эф­фи­ци­ент при x⁴ будет равен Так как по усло­вию за­да­чи дан­ный ко­эф­фи­ци­ент дол­жен быть равен имеем у рав­не­ние:

Раз­де­лив обе части урав­не­ния на 28 и при­ве­дя по­доб­ные, по­лу­чим Дан­ное урав­не­ние имеет два ве­ще­ствен­ных корня: и

Таким об­ра­зом, наи­боль­шее зна­че­ние па­ра­мет­ра a, при ко­то­ром ко­эф­фи­ци­ент при в раз­ло­же­нии мно­го­чле­на будет равен −1540 равно −5.

Ответ: −5.

При­ме­няя по­ли­но­ми­аль­ную фор­му­лу, по­лу­чим

Для того, чтобы опре­де­лить, какие сла­га­е­мые в сумме со­дер­жат нужно ре­шить в не­от­ри­ца­тель­ных целых чис­лах си­сте­му урав­не­ний:

Из вто­ро­го урав­не­ния сле­ду­ет чётность n₂. В силу не от­ри­ца­тель­но­сти пе­ре­мен­ных n₂ может при­ни­мать зна­че­ния 0, 2 и 4. Решая си­сте­му для каж­до­го из дан­ных n₂, будем иметь три слу­чая:

1)  

2)  

3)  

В каж­дом из них ко­эф­фи­ци­ент при x⁴ вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле:

Тогда в каж­дом из пе­ре­чис­лен­ных слу­ча­ев будем иметь со­от­вет­ствен­но:

1)  

2)  

3)  

Таким об­ра­зом, ко­эф­фи­ци­ент при x⁴ будет равен

Так как по усло­вию за­да­чи дан­ный ко­эф­фи­ци­ент дол­жен быть равен имеем урав­не­ние:

При­ве­дя по­доб­ные и раз­де­лив обе части урав­не­ния на 28, по­лу­чим Дан­ное урав­не­ние имеет два ве­ще­ствен­ных корня: и

Таким об­ра­зом, наи­боль­шее зна­че­ние па­ра­мет­ра a, при ко­то­ром ко­эф­фи­ци­ент при в раз­ло­же­нии мно­го­чле­на будет равен 70 равно −4.

Ответ: −4.

Пусть LH  — вы­со­та/ме­ди­а­на/бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка. Пусть S  — пе­ре­се­че­ние луча MO и от­рез­ка LH. За­ме­тим, что На­при­мер, по­сколь­ку в тре­уголь­ни­ке KSM ме­ди­а­на SH сов­па­ла с вы­со­той.

По­счи­та­ем углы:

1)  

2)  

3)  

4)  

5)   а зна­чит

6)   а зна­чит

Тре­уголь­ни­ки SKO и SKL равны по общей сто­ро­не KS и двум углам (пунк­ты 5 и 6). Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник KOL  — рав­но­бед­рен­ный. Зна­чит, угол

Ответ: 150°.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Не­слож­но по­счи­тать, что До­ка­жем, что а Для этого вос­поль­зу­ем­ся три­го­но­мет­ри­че­ской фор­мой тео­ре­мы Чевы. В со­от­вет­ствии с этой тео­ре­мой нам до­ста­точ­но про­ве­рить, что

или Это оче­вид­но:

Оста­лось лишь вы­чис­лить из тре­уголь­ни­ка LOM.

Пусть QH  — вы­со­та/ме­ди­а­на/бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка. Пусть S  — пе­ре­се­че­ние луча RO и от­рез­ка QH. За­ме­тим, что На­при­мер, по­сколь­ку в тре­уголь­ни­ке PSR ме­ди­а­на SH сов­па­ла с вы­со­той.

По­счи­та­ем углы:

1)  

2)  

3)  

4)  

5)   а зна­чит

6)   а зна­чит

Тре­уголь­ни­ки SPO и SPQ равны по общей сто­ро­не PS и двум углам (пунк­ты 5 и 6) Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник POQ  — рав­но­бед­рен­ный. Зна­чит, угол

Ответ: 150°.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Не­слож­но по­счи­тать, что До­ка­жем, что а Для этого вос­поль­зу­ем­ся три­го­но­мет­ри­че­ской фор­мой по те­ре­ме Чевы. В со­от­вет­ствии с этой тео­ре­мой нам до­ста­точ­но про­ве­рить, что

или

Это оче­вид­но:

Оста­лось лишь вы чис­лить из тре­уголь­ни­ка QOR.

Пред­по­ло­жим, что каж­дое из чисел 739 и 741 ока­за­лось кра­си­вым. Тогда

Зна­чит, най­дут­ся такие целые числа a и b, что во всех чётных чис­лах функ­ция g при­ни­ма­ет зна­че­ние a, а во всех нечётных  — зна­че­ние b. С дру­гой сто­ро­ны, в точ­ках 0 и 739 функ­ция долж­на при­ни­мать одно и то же зна­че­ние, от­ку­да Тогда про­ти­во­ре­чие.

Ответ: нет, не может.

Пред­по­ло­жим, что каж­дое из чисел 267 и 269 ока­за­лось не­стан­дарт­ным. Тогда

Зна­чит, най­дут­ся такие целые числа a и b, что во всех чётных чис­лах функ­ция G при­ни­ма­ет зна­че­ние a, а во всех нечётных  — зна­че­ние b. С дру­гой сто­ро­ны, в точ­ках 0 и 267 функ­ция долж­на при­ни­мать одно и то же зна­че­ние, от­ку­да Тогда функ­ция по­сто­ян­ная, про­ти­во­ре­чие.

Ответ: нет, не может.

Пред­по­ло­жим, что ре­а­ли­за­ция Ва­си­ной за­дум­ки воз­мож­на, и рас­смот­рим за­мкну­тую ло­ма­ную, об­ра­зо­ван­ную 513 рёбрами. Введём си­сте­му ко­ор­ди­нат таким об­ра­зом, что плос­кость Оху па­рал­лель­на ос­но­ва­ни­ям приз­мы, ось Оz пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­ни­ям приз­мы, причём вы­со­та приз­мы рав­ня­ет­ся 1, а на­ча­ло ко­ор­ди­нат О сов­па­да­ет с одной из вер­шин за­мкну­той ло­ма­ной.

Пойдём те­перь по нашей ло­ма­ной, на­чи­ная с точки O. Каж­дый раз, когда мы пе­ре­хо­дим по ребру, ко­то­рое ле­жа­ло в ос­но­ва­нии, мы дви­жем­ся в плос­ко­сти, па­рал­лель­ной Оxy, то есть z-ко­ор­ди­на­та вер­ши­ны ло­ма­ной не ме­ня­ет­ся. Если же мы про­хо­дим по ребру, ко­то­рое было бо­ко­вым реб­ром, мы ме­ня­ем z-ко­ор­ди­на­ту ровно на 1.

Таким об­ра­зом, когда мы пройдём по всем 513 рёбрам и вернёмся в точку О, z-ко­ор­ди­на­та вер­ши­ны, с одной сто­ро­ны, долж­на стать 0, с дру­гой сто­ро­ны, она долж­на быть нечётной, так как мы 171 раз по­ме­ня­ли её чётность. Про­ти­во­ре­чие.

Ответ: нет, не воз­мож­на.

Пред­по­ло­жим, что ре­а­ли­за­ция Ани­ной за­дум­ки воз­мож­на, и рас­смот­рим за­мкну­тую ло­ма­ную, об­ра­зо­ван­ную 1119 рёбрами. Введём си­сте­му ко­ор­ди­нат таким об­ра­зом, что плос­кость Оху па­рал­лель­на ос­но­ва­ни­ям приз­мы, ось Оz пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­ни­ям приз­мы, причём вы­со­та приз­мы рав­ня­ет­ся 1, а на­ча­ло ко­ор­ди­нат О сов­па­да­ет с одной из вер­шин за­мкну­той ло­ма­ной.

Пойдём те­перь по нашей ло­ма­ной, на­чи­ная с точки О. Каж­дый раз, когда мы пе­ре­хо­дим по ребру, ко­то­рое ле­жа­ло в ос­но­ва­нии, мы дви­жем­ся в плос­ко­сти, па­рал­лель­ной Оxy, то есть, z-ко­ор­ди­нат а вер­ши­ны ло­ма­ной не ме­ня­ет­ся, Если же мы про­хо­дим по ребру, ко­то­рое было бо­ко­вым реб­ром, мы ме­ня­ем z-ко­ор­ди­на­ту ровно на 1.

Таким об­ра­зом, когда мы пройдём по всем 1119 рёбрам и вернёмся в точку О, z-ко­ор­ди­нат а вер­ши­ны, с одной сто­ро­ны, долж­на стать 0, с дру­гой сто­ро­ны, она долж­на быть нечётной, так как мы 373 раза по­ме­ня­ли её чётность. Про­ти­во­ре­чие.

Ответ: нет, не воз­мож­на.