Всего: 51 1–20 | 21–40 | 41–51
Добавить в вариант
и 
Найдите угол CBD.
то эти лучи пересекутся). Тогда внешний угол при вершине E треугольника CDE равен 
откуда следует, что треугольник BAE равнобедренный (см. рис.).
то есть T — середина отрезка BD. Следовательно, в треугольнике DAB медиана является биссектрисой, а значит и высотой. Заметим, что отрезки AT и BD перпендикулярны, откуда из параллельности получаем, что отрезок BC перпендикулярен отрезку BD.
и 
Найдите ACB, если известно, что DB — биссектриса угла D.
— точка, симметричная точке D относительно прямой BC. Тогда 
и 
Следовательно, треугольник 
равносторонний и 
В силу симметрии 
и треугольник 
равнобедренный. Поэтому
а по свойству биссектрисы 
Следовательно, 
и 
—
и, значит, 
Стало быть,
вписанный и 
Точка O — центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, а H — точка пересечения его высот. Оказалось, что прямая OH параллельна стороне BC. На плоскости отметили такую точку K, что ABHK — параллелограмм. Отрезки OK и AC пересеклись в точке L. В каком отношении перпендикуляр, опущенный из точки L на отрезок AH, делит AH?
диаметрально противоположна точке A на этой окружности, а точка N — вторая точка пересечения прямой AK с этой окружностью. Из параллельности прямых OH и BC следует, что прямая OH перпендикулярна высоте AD. Поскольку 
—
и, значит, прямые 
и OH параллельны. Стало быть, OH — средняя линия треугольника 
поэтому AH = HE. Далее, 
и отрезок CA является медианой в треугольнике KCN. Но отрезок KO также является медианой в этом треугольнике. Следовательно, L — точка пересечения медиан этого треугольника и 
Тогда по теореме Фалеса 
Но мы уже знаем, что 
поэтому AM = MH.
и 
—
подобен треугольнику ABC с коэффициентом 
С другой стороны центр описанной окружности треугольника ABC является точкой пересечения высот треугольника 
Следовательно, 
и 
—
—
Треугольники ALK и 
подобны по двум углам 
как вертикальные, 
и их коэффициент подобия равен 2.
тогда 
и 
поскольку 
и 
так как треугольники ALM и ACD подобны.
и 
Следовательно, AM = y и
и 
— средняя линия треугольника CAK, поэтому
и 
перпендикулярны AC, поэтому точки O, 
и OP параллельна AK. Стало быть, AOPK — параллелограмм. Пусть Q — точка пересечения его диагоналей, тогда AQ = QP. Следовательно, 
и OQ — медианы треугольника AOP, а L — точка их пересечения, поэтому 
и, значит, 
Из подобия треугольников AML и ADC следует, что 
Тогда если AM = x, то 
и 
а, значит, MH = x и В остроугольном треугольнике ABC опущены высоты AA1, BB1 и CC1. На плоскости выбрана такая точка T, что прямые TA и TB являются касательными к описанной окружности треугольника ABC, точка O — центр этой окружности. Перпендикуляр, опущенный из точки T на прямую A1B1, пересекает прямую CC1 в точке K, а проходящая через точку C1 параллельная OK прямая пересекает отрезок CO в точке L. Найдите угол CLA1.
и 
Треугольники AOT и BOT равны по трем сторонам, а вписанный угол ACB опирается на ту же дугу, что и центральный угол AOB, поэтому
Аналогично 
и из равнобедренности треугольника BOC следует, что
четырехугольник AB1A1B вписанный. Следовательно, 
Стало быть,
На катете AC прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой AB отмечена точка P. Точка D - основание перпендикуляра, опущенного из вершины A на прямую BP, а точка E — основание перпендикуляра, опущенного из точки P на сторону AB. На плоскости выбрана такая точка T, что прямые TA и TP являются касательными к описанной окружности треугольника PAB, точка O — центр этой окружности. Перпендикуляр, опущенный из точки T на прямую DE, пересекает прямую BC в точке Q, а проходящая через точку C параллельная OQ прямая пересекает отрезок BO в точке K. Найдите угол OKE.
и 
Треугольники AOT и POT равны по трем сторонам, а вписанный угол ABP опирается на ту же дугу, что и центральный угол AOP, поэтому 
Центральный угол AOB опирается на меньшую дугу AB, а вписанный угол APB опирается на большую дугу AB, поэтому 
Из равнобедренности треугольника AOB следует, что 
четырехугольник ADPE вписанный, в частности, 
Следовательно, 
имеем 
Стало быть, 
Сечение правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF образовано плоскостью, проходящей через центр основания ABCDEF и параллельной медиане CM боковой грани SCD и апофеме SN боковой грани SAF, сторона основания пирамиды равна 8, а расстояние от вершины S до секущей плоскости равно 
Найдите косинус угла между плоскостью сечения и плоскостью основания.
OY — средняя линия треугольника SNU.
Имеем 
Согласно теореме Фалеса, приходим к соотношениям 
Точка V — точка пересечения прямой KL и CD, 
и 
и 
Расстояние от точки C до сечения равно 
В треугольнике RCV проведем высоту CG, обозначим ее длину h. Тогда 
и 
Найдите площадь сечения правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF плоскостью, проходящей через вершину F основания ABCDEF и параллельной медиане CM боковой грани SCD и апофеме SN боковой грани SAF, если сторона основания пирамиды равна 
а расстояние от вершины S до секущей плоскости равно 
Пусть R — точка пересечения прямых FV и BC. Плоскость сечения пересекает основание пирамиды по отрезку FR.
Точка Z — точка пересечения прямых RF и DE. Точка T — точка пересечения прямых BC и DE. Треугольники FZE и RZT подобны, и 
ZE = 5a.
В плоскости SDE точка P — точка пересечения прямых ZK и SE. По теореме Фалеса имеем 
Искомое сечение KLRFP.
где 
— площадь проекции сечения на плоскость основания, φ — угол между плоскостью сечения и плоскостью основания. Найдем площадь проекции сечения на плоскость основания. Проекцией является пятиугольник TXHJR. Площадь проекции сечения вычисляется по формуле:
Расстояние от точки C до сечения равно d. В треугольнике RCV проведем высоту CU, обозначим ее длину h. Тогда 
Найдем RV по теореме косинусов:
Дан прямоугольный треугольник ABC. Окружность, касающаяся прямой BC в точке B, пересекает высоту CD, проведённую к гипотенузе, в точке F, а катет AC — в точке E. Известно, что 
Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника CEF.
то 
а 
по теореме об угле между касательной и хордой. Поэтому 
Следовательно, BE и BF соответствующие элементы в подобных прямоугольных треугольниках ABC и CBD. Значит, 
По теореме Фалеса 
Из полученных равенств следует, что 
поэтому F — середина CD, а так как 
то EF — средняя линия треугольника ACD. Отсюда 
и
Дан прямоугольный треугольник ABC. Окружность, касающаяся прямой AC в точке A, пересекает высоту CD, проведённую к гипотенузе, в точке E, а катет BC — в точке F. Известно, что 
Найдите отношение площади треугольника ACD к площади треугольника CEF.
а 
по теореме об угле между касательной и хордой. Поэтому 
Следовательно, AF и AE соответствующие элементы в подобных прямоугольных треугольниках ABC и ACD. Значит, 
По теореме Фалеса 
Из полученных paвенств следует, 
поэтому E — середина CD, а так как 
то EF — средняя линия треугольника BCD. Отсюда 
и
Дан прямоугольный треугольник ABC. Окружность, касающаяся прямой BC в точке B, пересекает высоту CD, проведённую к гипотенузе, в точке F, а катет AC — в точке E. Известно, что 
Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника CEF.
Дан прямоугольный треугольник ABC. Окружность, касающаяся прямой AC в точке A, пересекает высоту CD, проведённую к гипотенузе, в точке E, а катет BC — в точке F. Известно, что 
Найдите отношение площади треугольника ACD к площади треугольника CEF.
соответствующие элементы в подобных прямоугольных треугольниках ABC и ACD. Значит, 