Всего: 37 1–20 | 21–37
Добавить в вариант
и 
Поэтому 
Домножим доказываемое неравенство 
Когда в неравенстве достигается равенство?
тогда 
и умножаем на 
получим равносильное 
Перепишем это в виде 
Обе 
Обе части каждого неравенства положительны, возведём их все в квадрат и сложим, получив: 
Сложив эти три равенства, получим: 
Числа 2ab, 2ac, 2bc положительны, а каждый из множителей 
не превосходит 1, поэтому при замене этих множителей в правой части на 1, она не уменьшится и получится требуемое неравенство 
В противном случае он был бы наибольшим углом в треугольнике ABC и, следовательно, 
и 
что противоречит выбору пары точек A и B.
что противоречит выбору точки C.Три грани тетраэдра — прямоугольные треугольники, а четвертая грань — не тупоугольный треугольник. Докажите, что необходимым и достаточным условием того, чтобы и четвертая грань была прямоугольным треугольником, является предложение, что ровно два из плоских углов при одной вершине тетраэдра — прямые.
(см. рис.).
Ввиду симметрии все равно, какой из оставшихся углов грани ABC прямой. Пусть 
Тогда: 
то в этом случае легко установить, что треугольник ABC — тупоугольный. Например, так: 
и 
о. Допустим, что 
Для случая δ1 имеем: 
В треугольнике ABC, в котором сумма сторон AC и BC в
раз больше стороны AB, вписана окружность, касающаяся сторон BC, AC и AB в точках M, N и K соответственно. Отношение площади треугольника MNC к площади треугольника ABC равно r. Найдите при данных условиях:
а) наименьшее значение r;
б) все возможные значения r.
(знак равно достигается, только в случае 
то 
Из условия существования треугольника вытекают неравенства: 
и 
учитывая то, 
Функция 
монотонно убывает на (0; 1) и возрастает на 
Поскольку 
то 
б) 
Докажите, что FO больше DI.
(это можно сделать, поскольку 
Треугольники IDO и IEO равны по двум сторонам и углу (IO — их общая сторона, 
Поэтому 
По неравенству треугольника для треугольника FOE имеем 
Тогда 
Дано положительное число c. В пространстве отмечено 99 точек таким образом, что для каждой из отмеченных точек расстояния до двух ближайших к ней отмеченных точек отличаются хотя бы в c раз. При каком наибольшем c это возможно?
(О. Иванова)
Из условия следует, что для любой отмеченной точки расстояние от неё до любой другой отмеченной точки (кроме ближайшей) превосходит расстояние до ближайшей хотя бы в c раз.
Пусть 
Поскольку AB — кратчайшее расстояние от точки A, то 
Поскольку BC — кратчайшее расстояние от точки B, то 
Тогда по неравенству треугольника
Это значит, что число c лежит на числовой прямой между корнями квадратного трехчлена 
В частности, 
что и требовалось.
В этом нам поможет первая часть решения: в неравенств (*) равенство достигалось в случае, когда точка B лежит на отрезке между A и C и, например, 
Отметим на плоскости 33 таких точек A1, B1, 
ближайшими будут точки 
и 
причем 
и 
причем 
ближайшими будут точки 
раз.
точка 
Пусть 
Поскольку 
Поскольку BC — кратчайшее расстояние от точки B, то 
Тогда по неравенству треугольника 
Но для 
т. е. числа 
B треугольнике ABC проведены медианы AM и BK. Известно, что 
и 
Oпределите, какое из перечисленных утверждений является верным:
а) длина стороны AB может быть равна 6;
б) периметр треугольника ABC может быть равен 22;
в) по данным задачи невозможно оценить ни периметр треугольника, ни сторону AB;
г) среди перечисленных ответов нет верного.
Отметьте правильный вариант ответа, решение приводить не нужно.
считая от вершины, поэтому 
и 
Проанализируем теперь сформулированные в задаче утверждения.
В треугольнике ABC медианы, проведённые из вершин A и B взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке M. На стороне AB отмечены точки P и Q так, что 
Доказать, что периметр треугольника CPQ меньше удвоенного периметра треугольника ABM.
По свойству медианы имеем 
следовательно, 
Так как 
и 
то 
Пусть 
тогда 
что и требовалось доказать.
Тогда 
По свойству биссектрисы 
поэтому если 
то 
Сумма сторон треугольника равна периметру, т. е. 
откуда 
поэтому 
Учтём неравенство треугольника:
не была посчитана более одного раза. Из двойного неравенства 
заключаем, что из сторон треугольника y, 2y и 3x сторона y — наименьшая. Тогда по заданному значению y вся тройка 
(где p — периметр). Поэтому две различные неупорядоченные тройки длин сторон задаются различными значениями y.
В треугольнике ABM отрезок AO является биссектрисой и высотой, поэтому треугольник равнобедренный 
Тогда 
откуда 
поэтому 
длины сторон треугольника: 
тогда 
значит, 
тогда 
а значит 
Значения c допустимы, если прямая 
пересекает желтую область. Координаты точки 
являются решениями линейной системы 
проходящей через точку A, соответствует значение 
Допустимые значения 
С учетом целочисленности 
для каждого 
(четные) число искомых треугольников равно числу целых b на отрезке 
т. е. 
Их общее количество m1 равно 
(нечетные), то число искомых треугольников равно числу целых b на отрезке 
т. е. 
Их общее число m2 равно 
Для соблюдения неравенства треугольника необходимо и достаточно, чтобы каждая часть получилась не длиннее 19 дм: 
и 
