Всего: 91 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–91
Добавить в вариант
Решите неравенство
Запишем ОД3: 
следовательно, 
Имеем
На ОДЗ исходное неравенство эквивалентно следующему
Ответ: 
Решите неравенство
Запишем ОДЗ: 
следовательно,
Имеем
На ОДЗ исходное неравенство эквивалентно следующему
Ответ: 
Решить неравенство 
В ответ записать наибольшее целое решение x.
Преобразуем исходное выражение:
найдем корни знаменателя и числителя:
На оси: x1, x2, x3, знаки − + − +, получаем промежутки: 
и 
Отсюда наибольшее целое решение 
Ответ: −5.
Решить неравенство: 
В ответ записать наименьшее целое решение x.
Преобразуем исходное выражение:
Запишем ОДЗ: 
Найдем корни числителя:
Обозначим, 
На оси: x1, x3, x2, знаки − + + +, получаем промежутки 
и 
Ответ: 2.
Решите неравенство
В ответ запишите сумму целых решений этого неравенства.
Найдем ОДЗ:
Окончательно, оно равно 
Тогда на ОДЗ:
Тогда знаменатель равен
и неравенство примет вид:
Итого, 
Ответ: 29.
Решите неравенство:
Преобразуем правую часть неравенства, получим
Заметим, что если сделать замену 
и 
то исходное неравенство примет вид: 
что верно при любых значениях a и b. Докажем, это. Возведем обе части неравенства в квадрат, получим:
что верно для любых значений a и b. Следовательно, исходное неравенство верно на ОДЗ:
Получаем ответ: 
Ответ:
| Баллы | Критерии выставления |
|---|---|
| 20 | Обоснованно получен правильный ответ. |
| 15 | При обоснованном решении ответ отличается от правильного из-за арифметической ошибки. |
| 10 | Задача сведена к неравенству  неравенство доказано. |
| 5 | Задача сведена к неравенству  |
| 0 | Решение не соответствует ни одному из вышеперечисленных условий. |
Решите неравенство:
Преобразуем правую и левую части неравенства:
Отметим, что ОДЗ неравенства есть все действительные числа. Переписав левую часть неравенства в виде
замечаем, что она не меньше 4, как удвоенная сумма двух взаимно обратных положительных величин, и только при
она равна 4.
В то же время правая часть неравенства
Следовательно, неравенство равносильно системе уравнений:
Ответ: {−0,5}.
| Баллы | Критерии выставления |
|---|---|
| 20 | Обоснованно получен правильный ответ. |
| 15 | При обоснованном решении ответ отличается от правильного из-за арифметической ошибки. |
| 10 | Верно выполнены оценки обеих частей неравенства и/или задача сведена к равносильной системе уравнений. |
| 5 | Верно выполнена оценка одной части неравенства. |
| 0 | Решение не соответствует ни одному из вышеперечисленных условий. |
Решите неравенство:
Докажем, что для любых положительных чисел a и b справедливо неравенство:
Раскрыв скобки, получаем: 
учитывая, что числа положительные
Поскольку на ОДЗ уравнения имеем 
и 
применяя доказанное неравенство получаем, что для любого x левая часть неравенства не меньше 4. В то же время правая часть неравенства
Следовательно, неравенство равносильно системе уравнений:
Из второго уравнения находим, что 
подставляем в первое уравнение системы, получаем, что 
его решение, следовательно, решение исходного неравенства.
Ответ: 
| Баллы | Критерии выставления |
|---|---|
| 15 | Обоснованно получен правильный ответ. |
| 12 | При обоснованном решении ответ отличается от правильного из-за арифметической ошибки. |
| 10 | Верно выполнены оценки обеих частей неравенства и/или задача сведена к равносильной системе уравнений. |
| 5 | Верно выполнена оценка одной части неравенства. |
| 0 | Решение не соответствует ни одному из вышеперечисленных условий. |
Решите неравенство:
Докажем, что для любых положительных чисел a и b справедливо неравенство:
Раскрыв скобки, получаем: 
учитывая, что числа положительные
Поскольку на ОД3 уравнения имеем 
и 
применяя доказанное неравенство получаем, что для любого x левая часть неравенства не меньше 4.
В то же время правая часть неравенства
Следовательно, неравенство равносильно системе уравнений:
Из второго уравнения находим, что 
подставляем в первое уравнение системы, получаем, что 
его решение, следовательно, решение исходного неравенства.
Ответ: {−1}.
| Баллы | Критерии выставления |
|---|---|
| 15 | Обоснованно получен правильный ответ. |
| 12 | При обоснованном решении ответ отличается от правильного из-за арифметической ошибки. |
| 10 | Верно выполнены оценки обеих частей неравенства и/или задача сведена к равносильной системе уравнений. |
| 5 | Верно выполнена оценка одной части неравенства. |
| 0 | Решение не соответствует ни одному из вышеперечисленных условий. |
Решите неравенство 
Учтем ОДЗ, перенесем все в левую часть
и разложим на множители
учитывая ОДЗ, первая скобка положительна, следовательно
Ответ: 
Решите неравенство
Домножим числитель и знаменатель на выражение, знак которого строго больше 0:
Это неравенство равносильно системе
Ответ: 
Решить неравенство
Разложим на множители:
Запишем ОДЗ: 
и 
Тогда
отсюда находим корни и 
Расставим точки на координатной прямой и найдем необходимые промежутки (см. рис.).
Ответ: 
Решить неравенство, в ответ записать наименьшее целое решение: 
Запишем ОДЗ:
и 
Преобразуем исходное выражение:
Полученные корни расставим на координатной прямой и найдем необходимые промежутки (см. рис.). Итого: 
Наименьшим целым решением неравенства является x = −2.
Ответ: −2.
Решить неравенство
Преобразуем исходное неравенство:
Запишем ОДЗ: 
и 
Тогда
Полученные корни расставим на координатной прямой и найдем необходимые промежутки (см. рис.).
Ответ: 
Решить неравенство, в ответ записать наибольшее целое отрицательное решение: 
Преобразуем исходное неравенство:
отсюда 
Ответ: −3.
Решите неравенство
Перегруппируем слагаемые в знаменателе:
найдем нули числителя и домножим дробь на положительную величину, — получим
Ответ: 
Решите неравенство
Заметим, что 
и 
так как 
Неравенство перепишем в виде
Методом интервалов получаем ответ, поскольку 
Ответ: 
Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 
имеет ровно 4 корня.
Укажем возможные значения параметра и переменной:
Используя свойство модуля, получим совокупность уравнений:
Таким образом, получаем 4 решения системы:
Проверим выполнение условия (*)
Решая каждое неравенство методом интервалов, получаем
Таким образом, 
Ответ:
Найти все значения a, при каждом из которых уравнение 
имеет ровно 4 корня.
Укажем возможные значения параметра и переменной:
Используя свойство модуля, получим совокупность уравнений:
Таким образом, получаем 4 решения системы:
Проверим выполнение условия (*)
Решая каждое неравенство методом интервалов, получаем
Таким образом, 
Ответ:
Найти сумму всех целых значений a, при которых неравенство 
выполнено для всех 
Заметим, что знаменатель дроби
всегда положителен. Преобразуем неравенство:
Квадратное неравенство будет выполнено для всех x, если дискриминант квадратного уравнения 
меньше либо равен 0. Тогда 
отсюда 
Получим, что 
Сумма всех целых значений из этого промежутка равна −52.
Ответ: −52.
Наверх