Из усло­вия па­рал­лель­но­сти плос­ко­стей A₁B₁C₁ и ABC сле­ду­ет, что тет­ра­эд­ры A₁B₁C₁D и ABCD по­доб­ны. Пусть x  — ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия этих тет­ра­эд­ров и h  — вы­со­та тет­ра­эд­ра ABCD из точки D. Тогда h − xh  — вы­со­та тет­ра­эд­ра A₁B₁C₁D₁ из точки D₁.

По­сколь­ку пло­ща­ди ос­но­ва­ний A₁B₁C₁ и ABC тет­ра­эд­ров A₁B₁C₁D₁ и ABCD от­но­сят­ся как x₂, а вы­со­ты  — как по­лу­ча­ем за­да­чу на мак­си­мум для функ­ции Решая эту за­да­чу с по­мо­щью про­из­вод­ной на­хо­дим кри­ти­че­скую точку в ко­то­рой до­сти­га­ет­ся наи­боль­шее зна­че­ние (в дру­гой кри­ти­че­ской точке так же, как и при оче­вид­но, до­сти­га­ет­ся наи­мень­шее зна­че­ние 0). Что тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Рас­смот­рим куб со сто­ро­ной a. По­стро­им сферы ра­ди­у­са с цен­тра­ми во всех его вер­ши­нах. Объём V тела, огра­ни­чен­но­го по­верх­но­стью куба и этими сфе­ра­ми равен

по­сколь­ку объём общей части куба и шаров, огра­ни­чен­ных этими сфе­ра­ми, равен объёму шара ра­ди­у­са

Со­еди­ним центр куба со всеми его вер­ши­на­ми. В ре­зуль­та­те по­лу­чим 6 пи­ра­мид, удо­вле­тво­ря­ю­щих усло­вию за­да­чи. Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый объём равен

Ответ:

Рас­смот­рим куб со сто­ро­ной a. По­стро­им сферы ра­ди­у­са с цен­тра­ми во всех его вер­ши­нах. Объём V тела, огра­ни­чен­но­го по­верх­но­стью куба и этими сфе­ра­ми равен

по­сколь­ку объём общей части куба и шаров, огра­ни­чен­ных этими сфе­ра­ми, равен объёму шара ра­ди­у­са

Со­еди­ним центр куба со всеми его вер­ши­на­ми. В ре­зуль­та­те по­лу­чим 6 пи­ра­мид, удо­вле­тво­ряв­ших усло­вию за­да­чи. Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый объём равен

Ответ:

Рас­смот­рим куб со сто­ро­ной a. По­стро­им сферы ра­ди­у­са с цен­тра­ми во всех его вер­ши­нах и в его цен­тре. Объём V тела, огра­ни­чен­но­го по­верх­но­стью куба и этими сфе­ра­ми равен

Со­еди­ним центр куба со всеми его вер­ши­на­ми. В ре­зуль­та­те по­лу­чим 6 пи­ра­мид, удо­вле­тво­ря­ю­щих усло­вию за­да­чи. Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый объём равен

Ответ:

Вы­со­та приз­мы и бо­ко­вое ребро равны 2 (диа­мет­ру впи­сан­но­го шара). Ос­но­ва­ния приз­мы яв­ля­ют­ся пра­виль­ны­ми n-уголь­ни­ка­ми, опи­сан­ны­ми около окруж­но­стей ра­ди­у­са 1. Со­глас­но из­вест­ной фор­му­ле, сто­ро­на ос­но­ва­ния в этом слу­чае равна По­верх­ность шара, ка­са­ю­ще­го­ся рёбер приз­мы, пе­ре­се­ка­ет каж­дую из гра­ней по окруж­но­сти. Это зна­чит, что пря­мо­уголь­ни­ки, слу­жа­щие бо­ко­вы­ми гра­ня­ми, опи­сан­ные, а по­то­му яв­ля­ют­ся квад­ра­та­ми. От­сю­да и Таким об­ра­зом, приз­ма пред­став­ля­ет собой куб 2 × 2 × 2.

Ответ:

Обо­зна­чим m длину ребра ку­би­ка, от­лич­но­го от еди­нич­но­го. По­лу­ча­ем урав­не­ние (в на­ту­раль­ных чис­лах). Далее,

Числа m и n одной чет­но­сти, так как в про­тив­ном слу­чае   — не­чет­ное число. При этом если m и n  — чет­ные числа, то будет де­лить­ся на 8, но 98 на 8 не де­лит­ся. Зна­чит, m и n  — не­чет­ные, при этом пер­вый мно­жи­тель про­из­ве­де­ния

есть чет­ное число, вто­рой  — не­чет­ное. На­ко­нец, вто­рой мно­жи­тель боль­ше пер­во­го:

Из ска­зан­но­го и раз­ло­же­ния на про­стые мно­жи­те­ли по­лу­ча­ем си­сте­му урав­не­ний Ре­ше­ни­ем этой си­сте­мы в на­ту­раль­ных чис­лах яв­ля­ет­ся един­ствен­ная пара

Ответ: 125.

Вве­дем обо­зна­че­ния: и Объем пи­ра­ми­ды SMNK равен

Зна­че­ния углов α, β за­ви­сят от трех­гран­но­го угла, но не от по­ло­же­ния точек M, N, K на его реб­рах, по­это­му мак­си­маль­но­му объ­е­му пи­ра­ми­ды SMNK со­от­вет­ству­ет мак­си­маль­ное зна­че­ние про­из­ве­де­ние при усло­вии Из не­ра­вен­ства о сред­нем гео­мет­ри­че­ском и сред­нем ариф­ме­ти­че­ском трех чисел сле­ду­ет, что

Ра­вен­ство до­сти­га­ет­ся при Тогда при объем пи­ра­ми­ды мак­си­маль­но воз­мож­ный, а пло­щадь тре­уголь­ни­ка SMN при­ни­ма­ет зна­че­ние В нашем слу­чае и сле­до­ва­тель­но,

Ответ:

Обо­зна­чим длину ребра боль­шо­го куба через a, а длину ребра вы­ре­зан­но­го ку­соч­ка  — через b. В ре­зуль­та­те вы­еда­ния ку­соч­ка из по­верх­но­сти сыра исчез один квад­ра­тик пло­ща­ди а вза­мен по­яви­лось пять таких же квад­ра­ти­ков, т. е. пло­щадь по­верх­но­сти уве­ли­чи­лась на Зна­чит, со­став­ля­ет 24% от ста­рой пло­ща­ди по­верх­но­сти: От­сю­да Таким об­ра­зом, объем куска сыра умень­шил­ся на т. е. на 21,6%.

Ответ: на 21,6%.

Числа в усло­вии за­да­чи свя­за­ны не слиш­ком бро­са­ю­щим­ся в глаза со­от­но­ше­ни­ем:

Про­ве­рим, что это со­от­но­ше­ние озна­ча­ет ор­то­го­наль­ность ребер AC и BD.

Рас­смот­рим тре­уголь­ник ABD. Пусть AH  — вы­со­та этого тре­уголь­ни­ка. Так как точка H рас­по­ло­же­на ближе к D, чем к B. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Ана­ло­гич­но для вы­со­ты тре­уголь­ни­ка на­хо­дим, что

По­сколь­ку при дви­же­нии точки H по лучу от се­ре­ди­ны от­рез­ка в сто­ро­ну точки D ве­ли­чи­на ме­ня­ет­ся мо­но­тон­но, мы за­клю­ча­ем, что Это и, зна­чит, что

Раз­вер­нем те­перь тет­ра­эдр так, чтобы диа­го­на­ли AC и BD ока­за­лись го­ри­зон­таль­ны­ми, и по­смот­рим на тет­ра­эдр свер­ху. Мы уви­дим фак­ти­че­ски про­ек­цию этого тет­ра­эд­ра на го­ри­зон­таль­ную плос­кость  — че­ты­рех­уголь­ник ABCD. Про­из­ве­де­ние равно удво­ен­ной пло­ща­ди этого че­ты­рех­уголь­ни­ка. Грани тет­ра­эд­ра при про­ек­ти­ро­ва­нии в эту плос­кость два­жды на­кры­ва­ют че­ты­рех­уголь­ник ABCD, по­это­му пло­щадь по­верх­но­сти тет­ра­эд­ра боль­ше пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ка.

Впро­чем, конец ре­ше­ния можно офор­мить, не опи­ра­ясь на про­стран­ствен­ное во­об­ра­же­ние. За­ме­тим, что

Ана­ло­гич­но уста­нав­ли­ва­ет­ся, что сумма пло­ща­дей двух дру­гих гра­ней также боль­ше чтд.

Опу­стим пер­пен­ди­ку­ля­ры из точки D на плос­ко­сти SBC, SAC и SAB со­от­вет­ствен­но. Обо­зна­чим Со­глас­но усло­вию со­ста­вим си­сте­му урав­не­ний

От­сю­да на­хо­дим Обо­зна­чим длины рёбер SA, SB и SC через a, b и c со­от­вет­ствен­но. По­сколь­ку точки A, B, C и D лежат в одной плос­ко­сти, вы­пол­ня­ет­ся со­от­но­ше­ние Из не­ра­вен­ства между сред­ним ариф­ме­ти­че­ским и сред­ним гео­мет­ри­че­ским для трёх пе­ре­мен­ных по­лу­ча­ем:

причём ра­вен­ство имеет место при

Объём пи­ра­ми­ды по­это­му Ра­вен­ство имеет место при

Ответ: 27.

Если P и Q  — се­ре­ди­ны бо­ко­вых ребер DD₁ и BB₁, то пря­мая PQ па­рал­лель­на BD и плос­кость (AQC₁) па­рал­лель­на (BD).

Про­ве­дем пря­мую (MN) па­рал­лель­ную BD, CK пер­пен­ди­ку­ляр­ную (MN), CF пер­пен­ди­ку­ляр­ную KC₁. Так как вы­со­та CF пер­пен­ди­ку­ляр­на (AKC₁), то   — за­дан­ный в усло­ви­ях угол между диа­го­на­лью CA₁ и плос­ко­стью (AKC₁). За­дан­ный угол между диа­го­на­лью CA₁ и плос­ко­стью ос­но­ва­ния равен

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке COF:

В тре­уголь­ни­ке CKC₁:

от­сю­да

Так как то

Пло­щадь ос­но­ва­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна Так как то

При и по­лу­ча­ем

Ответ:

Точки K₁, L₁, M₁ и N₁, сим­мет­рич­ные точке S от­но­си­тель­но ука­зан­ных бис­сек­тор­ных плос­ко­стей, лежат в плос­ко­сти ABCD. А по­сколь­ку вся четвёрка бис­сек­тор­ных плос­ко­стей пе­ре­хо­дит в себя при по­во­ро­те на 90° во­круг оси пи­ра­ми­ды, то этим же свой­ством об­ла­да­ет и четвёрка K₁, L₁, M₁, N₁). Можно счи­тать, что эти точки об­ра­зу­ют квад­рат K₁L₁M₁N₁, центр O ко­то­ро­го сов­па­да­ет с цен­тром квад­ра­та ABCD. Найдём от­но­ше­ние пло­ща­дей этих квад­ра­тов. Пусть P  — се­ре­ди­на ребра AB, а точ­кой, сим­мет­рич­ной S от­но­си­тель­но и

от­ку­да

Но пло­щадь квад­ра­та K₁L₁M₁N₁, в ко­то­ром от­ре­зок OK₁  — по­ло­ви­на диа­го­на­ли, равна тогда как пло­щадь квад­ра­та ABCD, сто­ро­на ко­то­ро­го вдвое длин­нее от­рез­ка OP, равна Зна­чит, от­но­ше­ние пло­ща­дей равно

По­это­му объём пи­ра­ми­ды SK₁L₁M₁N₁ со­став­ля­ет объём пи­ра­ми­ды SABCD. Остаётся за­ме­тить, что мно­го­гран­ник SKLMN, бу­дучи об­ра­зом пи­ра­ми­ды SK₁L₁M₁N₁ при го­мо­те­тии с цен­тром S и ко­эф­фи­ци­ен­том имеет объём, рав­ный объёма пи­ра­ми­ды SK₁L₁M₁N₁. Пе­ре­мно­жим и по­лу­чим ответ  —

Ответ:

Пусть в пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де DABC точка O центр её ос­но­ва­ния ABC, а от­ре­зок PQ  — общий пер­пен­ди­ку­ляр скре­щи­ва­ю­щих­ся рёбер AD и CB, Если то пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды

Так как то

Обо­зна­чив через V(x) объём пи­ра­ми­ды DABC, по­лу­ча­ем

Найдём про­из­вод­ную:

Про­из­вод­ная об­ра­ща­ет­ся в нуль в точке При имеем при имеем по­это­му Не­труд­но по­ка­зать, что при этом

Итак, ис­ко­мой пи­ра­ми­дой наи­мень­ше­го объёма будет пра­виль­ный тет­ра­эдр с реб­ром

Ответ: см. рис.

Рас­смот­рим шар ра­ди­у­са r с цен­тром в точке пе­ре­се­че­ния осей ци­лин­дров. Оче­вид­но, этот шар при­над­ле­жит всем ци­лин­драм. Более того, если про­ве­сти плос­кость, па­рал­лель­ную плос­ко­сти, ко­то­рой при­над­ле­жат оси ци­лин­дров, то се­че­ни­ем тела, яв­ля­ю­ще­го­ся общей ча­стью ци­лин­дров, будет пра­виль­ный 2n-уголь­ник, опи­сан­ный около круга, ко­то­рый пред­став­ля­ет собой се­че­ние этого шара. Таким об­ра­зом, для всех таких плос­ко­стей от­но­ше­ние пло­ща­дей по­лу­чен­ных се­че­ний будет по­сто­ян­но и равно

Сле­до­ва­тель­но, таким же будет и от­но­ше­ние объёмов общей части n оди­на­ко­вых ци­лин­дров ра­ди­у­са r и шара ра­ди­у­са r, то есть ис­ко­мый объем равен

Ответ:

Опу­стим из точки S пер­пен­ди­ку­ля­ры SP на ребро MN и SH на плос­кость ос­но­ва­ния MNKL. Все сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка SMN из­вест­ны, по­это­му длина SP опре­де­ля­ет­ся од­но­знач­но, ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды фик­си­ро­ва­но, по­это­му объем до­сти­га­ет наи­боль­ше­го зна­че­ния, если мак­си­маль­на вы­со­та SH пи­ра­ми­ды. Зна­чит, SP и SH долж­ны сов­па­дать, и, сле­до­ва­тель­но, грани SMN и MNKL пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Тре­уголь­ник SMN пря­мо­уголь­ный, так как После эле­мен­тар­ных вы­чис­ле­ний по­лу­ча­ем Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков NKP и SKP, MLP и SLP на­хо­дим

Ответ:

Опу­стим из точки S пер­пен­ди­ку­ля­ры SP на ребро MN и SH на плос­кость ос­но­ва­ния MNKL. Все сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка SMN из­вест­ны, по­это­му длина SP опре­де­ля­ет­ся од­но­знач­но, ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды фик­си­ро­ва­но, по­это­му объем до­сти­га­ет наи­боль­ше­го зна­че­ния, если мак­си­маль­на вы­со­та SH пи­ра­ми­ды. Зна­чит, SP и SH долж­ны сов­па­дать, и, сле­до­ва­тель­но, грани SMN и MNKL пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Тре­уголь­ник SMN рав­но­бед­рен­ный, так как После эле­мен­тар­ных вы­чис­ле­ний по­лу­ча­ем Из тре­уголь­ни­ка MPK най­дем

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка SPK на­хо­дим

Из тре­уголь­ни­ка PNL най­дем

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка SPL на­хо­дим

Имеем:

Ответ:

Объёмы по­доб­ных пи­ра­мид от­но­сят­ся как кубы их высот, то есть

сле­до­ва­тель­но, Имеем:

Кроме того,

Тогда

В итоге по­лу­ча­ем:

Ответ: 144.

Объёмы по­доб­ных пи­ра­мид от­но­сят­ся как кубы их высот, то есть

сле­до­ва­тель­но, Имеем:

Кроме того,

Тогда

В итоге по­лу­ча­ем:

Ответ: 135.

Точки K₁, L₁, M₁ и N₁, сим­мет­рич­ные точке S от­но­си­тель­но ука­зан­ных бис­сек­тор­ных плос­ко­стей, лежат в плос­ко­сти ABCD. А по­сколь­ку вся четвёрка бис­сек­тор­ных плос­ко­стей пе­ре­хо­дит в себя при по­во­ро­те на 90° во­круг оси пи­ра­ми­ды, то этим же свой­ством об­ла­да­ет и четвёрка (K₁, L₁, M₁, N₁). Можно счи­тать, что эти точки об­ра­зу­ют квад­рат K₁L₁M₁N₁ центр O ко­то­ро­го сов­па­да­ет с цен­тром квад­ра­та ABCD.

Найдём от­но­ше­ние пло­ща­дей этих квад­ра­тов. Пусть P  — се­ре­ди­на ребра AB, а точ­кой, сим­мет­рич­ной S от­но­си­тель­но со­от­вет­ству­ю­щей бис­сек­тор­ной плос­ко­сти, яв­ля­ет­ся K₁. Тогда и

от­ку­да

Но пло­щадь квад­ра­та K₁L₁M₁N₁, в ко­то­ром от­ре­зок OK₁  — по­ло­ви­на диа­го­на­ли, равна 2(OK₁)², тогда как пло­щадь квад­ра­та ABCD, сто­ро­на ко­то­ро­го вдвое длин­нее от­рез­ка OP, равна

Зна­чит, от­но­ше­ние пло­ща­дей равно

По­это­му объём пи­ра­ми­ды SK₁L₁M₁N₁ со­став­ля­ет объём пи­ра­ми­ды SABCD. Остаётся за­ме­тить, что мно­го­гран­ник SKLMN, бу­дучи об­ра­зом пи­ра­ми­ды SK₁L₁M₁N₁ при го­мо­те­тии с цен­тром S и ко­эф­фи­ци­ен­том имеет объём, рав­ный объёма пи­ра­ми­ды SK₁L₁M₁N₁. Пе­ре­мно­жим и по­лу­чим ответ.

Ответ:

1)  До­ка­жем, что пря­мая TO пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти A₁B₁C. Точка O лежит в плос­ко­сти TCD, D  — се­ре­ди­на AB. Спро­еци­ру­ем точку O на плос­кость TBC, ее про­ек­ция O₁  — центр опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка TBC₁ окруж­но­сти. Пря­мая TO₁  — про­ек­ция TO на плос­кость TBC. До­ка­жем, что

По­сколь­ку

то тре­уголь­ник TB₁C₁ по­до­бен тре­уголь­ни­ку TBC, и До­ка­жем, что то есть F  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых TO₁ и B₁C. По свой­ству впи­сан­ных углов имеем:

Пусть TP  — диа­метр рас­смат­ри­ва­е­мой окруж­но­сти. Тогда

Зна­чит,

Таким об­ра­зом,

Ана­ло­гич­но до­ка­зы­ва­ет­ся, что про­ек­ция TO на плос­кость TAC пер­пен­ди­ку­ляр­на A₁C. Со­глас­но тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах, TO также будет пер­пен­ди­ку­ляр­на двум пе­ре­се­ка­ю­щим­ся пря­мым B₁C и A₁C, ле­жа­щим в плос­ко­сти A₁B₁C, сле­до­ва­тель­но,

2)  Обо­зна­чим через a длину сто­ро­ны ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды Обо­зна­чим через b длину бо­ко­во­го ребра пи­ра­ми­ды TABC,

Пусть TH  — вы­со­та пи­ра­ми­ды TABC. Тогда В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды TA₁B₁C лежит рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник A₁B₁C, D₁C  — его вы­со­та, D₁  — се­ре­ди­на A₁B₁. Вы­со­та TL пи­ра­ми­ды TA₁B₁C, про­ве­ден­ная из вер­ши­ны T лежит на пря­мой TO. Для вы­чис­ле­ния объ­е­ма пи­ра­ми­ды TA₁B₁C нужно найти D₁C и TL.

На бо­ко­вом ребре TC от­ме­тим точки K и S так, что Тогда

Пусть Тогда

Итак, объем пи­ра­ми­ды TA₁B₁C вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле

и

Ответ: