Косинус двугранного угла при каждом из рёбер AB, BC, CD и DA основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен 0,8. Точки K, L, M и N являются проекциями точки S на биссекторные плоскости при рёбрах основания. Найдите отношение объёма многогранника SKLMN к объёму пирамиды SABCD.
Точки K1, L1, M1 и N1, симметричные точке S относительно указанных биссекторных плоскостей, лежат в плоскости ABCD. А поскольку вся четвёрка биссекторных плоскостей переходит в себя при повороте на 90° вокруг оси пирамиды, то этим же свойством обладает и четвёрка (K1, L1, M1, N1). Можно считать, что эти точки образуют квадрат K1L1M1N1 центр O которого совпадает с центром квадрата ABCD.
Найдём отношение площадей этих квадратов. Пусть P — середина ребра AB, а точкой, симметричной S относительно соответствующей биссекторной плоскости, является K1. Тогда 
и
откуда
Но площадь квадрата K1L1M1N1, в котором отрезок OK1 — половина диагонали, равна 2(OK1)2, тогда как площадь квадрата ABCD, сторона которого вдвое длиннее отрезка OP, равна
Значит, отношение площадей равно 
Поэтому объём пирамиды SK1L1M1N1 составляет 
объём пирамиды SABCD. Остаётся заметить, что многогранник SKLMN, будучи образом пирамиды SK1L1M1N1 при гомотетии с центром S и коэффициентом 
имеет объём, равный 
объёма пирамиды SK1L1M1N1. Перемножим и 
получим ответ.
Ответ: 