РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2378 Добавить в вариант

Олимпиада Шаг в будущее, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2016 год

Классификатор: Геометрия: стереометрия. Объём и площадь поверхности

Найдите площадь сечения прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, которая проходит через диагональ $AC_1,$ параллельна диагонали основания BD, наклонена к плоскости основания под углом 30° и образует с диагональю $A_1C$ угол 45°, если диагональ параллелепипеда равна d.

Решение.

Введем обозначение $AC1= d =2R$ (так как на середине диагонали параллелепипеда расположен центр сферы, описанной около параллелепипеда).

Если P и Q  — середины боковых ребер DD₁ и BB₁, то прямая PQ параллельна BD и $PQ=BD=AC.$

Проведем прямую (MN) параллельную BD, $A принадлежит левая круглая скобка M N правая круглая скобка ;$ CK перпендикулярную (MN), CF перпендикулярную KC₁. Тогда $\angle C K C_1= бета$   — заданный в условиях угол между секущей плоскостью и плоскостью основания. Так как высота CF перпендикулярна (AKC₁), то $\angle C O F= гамма$   — заданный в условиях угол между диагональю CA₁ и плоскостью сечения PAQC₁. Так как $O C=R,$ то

$C F=R синус гамма ,$ $\quad C K= дробь: числитель: C F, знаменатель: синус бета конец дроби = дробь: числитель: R синус гамма , знаменатель: синус бета конец дроби ,$

$C C_1= дробь: числитель: C F, знаменатель: косинус бета конец дроби = дробь: числитель: R синус гамма , знаменатель: косинус бета конец дроби ,$ $\quad K C_1= дробь: числитель: C K, знаменатель: косинус бета конец дроби = дробь: числитель: R синус гамма , знаменатель: синус бета косинус бета конец дроби .$

Поскольку

$P Q=B D=A C= корень из: начало аргумента: A C_1 конец аргумента в квадрате минус C C_1 в квадрате = дробь: числитель: R, знаменатель: косинус бета конец дроби корень из: начало аргумента: 4 косинус в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента бета минус синус в квадрате гамма правая круглая скобка ,$

а прямая KC₁ перпендикулярна AK, то площадь сечения PAQC₁ равна

$S_P A Q C_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби K C_1 умножить на P Q= дробь: числитель: R в квадрате синус гамма , знаменатель: 2 синус бета косинус в квадрате бета конец дроби корень из: начало аргумента: 4 косинус в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента бета минус синус в квадрате гамма правая круглая скобка$

или

$S_P A Q C_1= дробь: числитель: d в квадрате синус гамма , знаменатель: 8 синус бета косинус в квадрате бета конец дроби корень из: начало аргумента: 4 косинус в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента бета минус синус в квадрате гамма правая круглая скобка .$

При $бета =30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ и $гамма =45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ получаем

$S= дробь: числитель: 2 умножить на 4, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента умножить на 2 умножить на 3 конец дроби умножить на корень из: начало аргумента: 4 умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента умножить на R в квадрате = дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента d в квадрате , знаменатель: 12 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента d в квадрате , знаменатель: 12 конец дроби .$

Аналоги к заданию № 7239: 2378 Все

РешениеСпрятать решение · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе