Всего: 49 1–20 | 21–40 | 41–49
Добавить в вариант
и 
По теореме синусов для треугольника ABC имеем 
Поскольку 
то 
то есть 
не подходит, поскольку в этом случае угол ACB тупой.
следовательно, 
Шар радиуса 
лежит внутри правильной четырехугольной пирамиды SABCD со стороной основания 8 и высотой 3. Этот шар касается плоскости основания ABCD пирамиды и боковых граней SBC и SCD. Плоскость γ касается шара, проходит через точку B, середину K ребра CD и пересекает ребро SC в точке M. Найдите объем пирамиды MBCK.
Проведем 
Точка E — точка касания шара плоскости SBC, пусть радиус шара 
Поскольку 
то 
Треугольники ROE и RPN подобны, и 
или 
Тогда 
Поскольку 
Тогда 
Если 
то 
Тогда 
Тогда 
Если 
то 
—
Внутри правильной четырехугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD расположена правильная четырехугольная призма KLMNK1L1M1N1, основание KLMN которой лежит в плоскости ABC. Центр основания KLMN призмы расположен на отрезке AC, 
(точки K и B лежат по одну сторону от AC), сторона основания призмы равна 2, боковое ребро KK1 призмы равно 3. Вершины L1 и M1 верхнего основания призмы KLMNK1L1M1N1 принадлежат боковым граням SBC и SCD пирамиды SABCD соответственно. Плоскость γ проходит через прямую BD и точку L1. Найдите объемы частей, на которые делит пирамиду SABCD плоскость γ, если сторона пирамиды равна 
a её высота равна 12.
и 
Треугольники RCF и SCO подобны, следовательно, 
Прямые KE и BD перпендикулярны, следовательно, 
Если HU перпендикуляр, опущенный на плоскость ABC, то 
Объем второй части 
в основании которой лежит параллелограмм ABCD. Плоскость 
пересекает ребра 
и OD пирамиды в точках 
и 
соответственно. Известно, что 
— параллелограмм, поэтому 
и, следовательно, 
а 
коээфициенты 
и z удовлетворяют уравнению 
(это, как известно, уравнение плоскости, даже если система координат не декартова, а точки 
и 
поэтому 
откуда 
Поскольку треугольники ABC и ACD равны, 
a 
В треугольной пирамиде DABC, в основании которой лежит остроугольный треугольник ABC, боковая грань DAC перпендикулярна основанию, рёбра DB и AC перпендикулярны, а расстояние между проекциями вершины D пирамиды на рёбра AB и BC равно 7. Найдите объём пирамиды, если её высота равна 1, а радиус окружности, описанной около основания, равен 9.
По теореме синусов для треугольников BD1D2 и ABC имеем 
и 
В правильной четырехугольной пирамиде TABCD через центр основания ABCD проведено сечение плоскостью параллельно медиане AM боковой грани TAB и апофеме TK боковой грани TCD. Найдите объем пирамиды с вершиной в точке T, основанием которой является указанное выше сечение, если высота пирамиды TABCD равна 12, а расстояние между прямой AM и плоскостью сечения равно 
параллельную AM. Имеем AE = AB. Пусть L — точка пересечения прямой EK с AD. Получили сечение пирамиды плоскостью TKL. Плоскость сечения, о котором идет речь в условии задачи и плоскость TKL параллельны, следовательно, линии пересечения этих плоскостей с плоскостью основания пирамиды параллельны. Через точку O проведем прямую NP 
параллельную LK, через точку N проведем прямую 
параллельную TL, через точку R проведем прямую RQ 
параллельную AM. Четырехугольник NRQP — искомое сечение. Поскольку 
то
и 
Прямая RQ параллельна прямой AM (см. рис. 4), следовательно, 
и 
и 
Найдем площадь проекции сечения на плоскость основания: 
Обозначим OF через x.
то есть 
Вычислим площадь сечения:
Кристалл некоторого минерала имеет форму треугольной пирамиды, основанием которой является треугольник BCA, стороны которого равны 4, 5 и 6 ед. соответственно. Известно, что все грани пирамиды также являются треугольниками со сторонами 4, 5 и 6 ед. Найти объём кристалла (см. рис.).
тогда рёбра 
Достроим пирамиду до треугольной призмы SB'C'ABC (см. рис. 1).
где BB'C'C — ромб со стороной 4. Тогда основание высоты 
пирамиды SBB'C'C лежит в центре ромба BB'C'C (см. рис. 2). Треугольники PB'C', SBP, SB'P — прямоугольные, тогда 
из полученных выражений получим:
Кристалл некоторого минерала имеет форму треугольной пирамиды, основанием которой является треугольник BCA, стороны которого равны 5, 6 и 7 ед. соответственно. Известно, что все грани пирамиды также являются треугольниками со сторонами 5, 6 и 7 ед. Найти объём кристалла (см. рис.).
тогда рёбра 
Достроим пирамиду до треугольной призмы SB'C'ABC (см. рис. 1).
