Найдите количество пар целых чисел (x, y), удовлетворяющих условию
Решение.
Раскладывая левую и правую части уравнения на множители, получаем
Поскольку каждый из множителей в левой части является целым числом, отсюда следует, что
или
где k и l — целые числа из отрезка [0; 100]. Найдём количество решений первой системы. Выражая из неё x и y, получаем
Рассмотрим первое уравнение. Показатели в степенях тройки неотрицательны. Сумма показателей в степенях двойки равна 96, поэтому хотя бы один из них положителен, т. е соответствующий ему член является целым числом. Так как в левой части равенства также целое число, то и второй член в правой части равенства должен быть целым. Значит, для существования целочисленных решений необходимо и достаточно, чтобы и — всего вариантов. Вторая система также имеет 9797 решений; итак, всего 19 594 решений.
Ответ: 19 594.
Критерии проверки:
Левая часть уравнения разложена на множители — 1 балл.
Составлена система линейных уравнений относительно x и y — 2 балла.
Найдите количество пар целых чисел (x; y), удовлетворяющих условию
Решение.
Раскладывая левую и правую части уравнения на множители, получаем
Поскольку каждый из множителей в левой части является целым числом, отсюда следует, что
или
где k и l — целые числа из отрезка [0; 100]. Найдём количество решений первой системы. Выражая из неё x и y, получаем
Рассмотрим первое уравнение. Показатели в степенях тройки неотрицательны. Сумма показателей в степенях двойки равна 98, поэтому хотя бы один из них положителен, т. е соответствующий ему член является целым числом. Так как в левой части равенства также целое число, то и второй член в правой части равенства должен быть целым. Значит, для существования целочисленных решений необходимо и достаточно, чтобы и — всего вариантов. Вторая система также имеет 9999 решений; итак, всего 19 998 решений.
Ответ: 19 998.
Критерии проверки:
Левая часть уравнения разложена на множители — 1 балл.
Составлена система линейных уравнений относительно x и y — 2 балла.
Решите в натуральных числах уравнение В ответе укажите сумму x + y для решения (x; y), в котором y — наименьшее, превосходящее 1500.
Решение.
Положим где при Тогда, подставляя это в уравнение, найдем и
Покажем, что число t может быть только целым. Предположим противное: пусть t есть рациональное число, отличное от целого, то есть где числа p и q взаимно просты, Tогда и уравнение примет вид
В последнем равенстве слева всегда стоит целое число, а справа — нецелое. Противоречие.
Итак, поэтому числа x и y будут натуральными только в следующих двух случаях:
1) число t нечётное: тогда и при
2) число t есть полный квадрат: тогда и при
Сведём полученные ранения в таблицу:
t
1
3
4
5
7
9
...
x
1
3
8
25
343
6561
...
y
1
9
32
125
2401
59049
...
Решение (x, y), в котором y — наименьшее, превосходящее 1500, есть при этом
Решите в натуральных числах уравнение В ответе укажите сумму x + y для решения (x; y), в котором y — наименьшее, превосходящее 2000.
то 
Остальные случаи разбираются аналогично. В итоге получаем 4 решения: 
и 
Поэтому множество всех целочисленных решений есть 
и 
где 
Модуль разности 
а соответствующее решение есть 
В ответ записываем 
и 
—
вариантов. Вторая система также имеет 9797 решений; итак, всего 19 594 решений.
и 
—
вариантов. Вторая система также имеет 9999 решений; итак, всего 19 998 решений.
Тогда 
Решая его как квадратное, находим корни 
и 
Находим теперь соответствующие этим t значения x:
при 
тогда 
откуда 
при 
тогда 
откуда 
получим 
Решаем квадратное уравнение 
относительно t получим корни 
и 
имеем: 
В ответе укажите сумму x + y для решения (x; y), в котором y — наименьшее, превосходящее 1500.
где 
при 
Тогда, подставляя это в уравнение, найдем 
и 
где числа p и q взаимно просты, 
Tогда 
и уравнение примет вид 
поэтому числа x и y будут натуральными только в следующих двух случаях: 
тогда 
и 
при 
тогда 
и 
при 
при этом 
В ответе укажите сумму x + y для решения (x; y), в котором y — наименьшее, превосходящее 2000.
После группировки получаем 
Получаем квадратное уравнение 
отсюда 
или 
Тогда
следовательно, из 
— решение уравнения. Тогда
и 
Тогда
