Всего: 35 1–20 | 21–35
Добавить в вариант
Решите систему уравнение
Функции 
и 
—
является решением системы лишь тогда, когда 
будет решением системы при всех 
Следовательно, систему уравнений достаточно решить при условии, что 
Пусть Так как 
то 
В этом случае система записывается как
На промежутке 
функции 
и строго возрастающие. Из равенства
следует, что 
Поэтому решение системы (1) сводится к решению уравнения 
на промежутке 
Уравнение представляется как
Положим 
Тогда 
и, значит, 
Решив уравнение
находим, что
Поэтому решениями заданной системы будут
где 
Ответ: 
Сколько пар чисел (x; y), 
и 
удовлетворяют системе
Найти значения первой координаты x таких решений
Перепишем систему
в виде
Из того что правые части этой системы неотрицательны, следует что 
и 
Возводим оба уравнения полученной системы в квадрат
и складываем. В результате получим
или
Используя формулу дополнительного аргумента, перепишем это уравнение в виде:
Отсюда находим
Вычислим и 
для 
Аналогично, вычислим и для 
В обоих случаях условия 
и 
выполнены.
Первый случай:
Тогда 
а 
В этом случае решение системы можно записать в виде
Условию 
и 
удовлетворяют наборы с 
и с 
Итого 4 решения.
Второй случай:
Тогда 
a 
В этом случае решение системы можно записать в виде
Условию 
и 
удовлетворяют наборы с и с Итого 4 решения.
Всего получаем 8 решений. Выпишем значения первой координаты x таких решений:
Ответ: 4 пары; значение первой координаты:
Решите систему 
Обозначим 
Тогда 
и 
Из второго Уравнения следует, что 
По теореме Виета a и b удовлетворяют Уравнению 
корнями которого являются числа 
и 
Наша система равносильна совокупности двух систем:
Ответ: 
или 
или Решить уравнение
Уравнение эквивалентно системе уравнений
Решим уравнение:
Решим уравнение:
Решениями исходного уравнения могут быть пересечения серий 
Первый случай. Пересечение 
Действительно,
Равенство невозможно, поскольку справа целое число.
Второй случай. Пересечение 
Действительно,
Последнее равенство невозможно, поскольку k и s — целые числа.
Третий случай. Пересечение 
Действительно,
Тогда
Четвертый случай. Пересечение 
Действительно,
что невозможно.
Ответ: 
При каких a система уравнений
Прямая L, задаваемая уравнением 
пересекает стороны квадрата в точках 
и 
Первое уравнение системы запишем в виде
Прямая с таким уравнением проходит через точку 
при любых а и пересекает отрезок 
при
Ответ: 
Решить систему
Возможны следующие случаи.
Первый случай. Когда 
то есть 
и
а) При 
и 
получим
Для 
Тогда получим первую серию решений
Для 
Тогда получим вторую серию решений
б) Когда 
и 
получим
Для 
Тогда получим третью серию решений
Для 
Тогда получим четвертую серию решений
Второй случай. Когда 
и следовательно, 
—
является иррациональным числом. Значит, второй случай решений не имеет.
Ответ: 
:
При каких значениях a точка с координатами 
симметрична точке с координатами 
относительно прямой с уравнением 
Две точки 
и 
симметричны относительно прямой 
если 
и 
Это приводит к системе:
Решим первое уравнение системы:
Подставляем (*) во второе уравнение системы:
Серия (*) решений не содержит.
Подставляем (**) во второе уравнение системы:
Серия (1.*) пуста, поскольку равенства нет ни при каких целых n и s. Серия (2.*) содержит любые целые n. Серия (**) искомая.
Ответ: 
Найти решения 
системы 
в прямоугольнике 
и 
Переход к системе с целочисленными параметрами m и k:
Решение системы:
Ограничение прямоугольника:
На плоскости параметров 
неравенства (*) и (**) ограничивают параллелограмм, внутри которого только две точки 
и 
с целочисленными координатами. Им соответствуют решения
Ответ: 
Решить систему
Построив графики функций, находим точки пересечения, которые являются решениями системы:
Составим систему:
Получаем, 
откуда
Ответ: 
Решите систему уравнений 
Сложив уравнения, получаем
Используя основное тригонометрическое тождество, преобразуем уравнение
или
Каждое из слагаемых в этом уравнении неположительное, следовательно, уравнение равносильно системе уравнений:
Исходной системе уравнений удовлетворяют решения
Ответ: 
Если ученик угадал, что одно из слагаемых в уравнениях системы равно 0, другое 1, но не доказал, что других решений нет — 3 балла. Обоснованно сделан вывод о том, что одно из слагаемых в уравнениях системы равно 0 , другое 1 — 6 баллов. Полное решение — 13 баллов.
Решите систему уравнений 
Сложив уравнения, получаем
Используя основное тригонометрическое тождество, преобразуем уравнение
или
1) 
Каждое из слагаемых в этом уравнении неположительное, следовательно, уравнение равносильно системе уравнений:
Исходной системе уравнений удовлетворяют решения
Ответ: 
Если ученик угадал, что одно из слагаемых в уравнениях системы равно 0, другое 1 но не доказал, что других решений нет — 3 балла. Обоснованно сделан вывод о том, что одно из слагаемых в уравнениях системы равно 0, другое 1 — 6 баллов. Полное решение — 13 баллов.
Дана система уравнений
Найдите все возможные значения выражения 
если известно, что оно определено и что этих значений не меньше двух.
Разделив обе части второго уравнения на 2 и вводя вспомогательный угол, получаем
Складываем это уравнение с первым из исходных уравнений и преобразуем:
Если 
то первое из исходных уравнений даёт 
откуда (здесь и далее в этой задаче 
Если 
то либо 
(и тогда выражение 
не определено), либо 
Подставляя в первое из данных в условии уравнений, имеем:
Ответ: 
Ошибка в тригонометрической формуле — не более 2 баллов за задачу, которые могут быть поставлены за первую часть — получена совокупность элементарных тригонометрических уравнений;
получена совокупность элементарных тригонометрических уравнений — 2 балла;
за каждый из трёх рассмотренных случаев — по 1 баллу (в одном из случаев выражение не существует, два других приводят к численным ответам).
Решите систему уравнений:
Поменяв, если нужно, знак у переменных, будем считать, что 
Сразу ясно, что 
поэтому 
Сложив два исходных равенства, получим, что 
откуда 
или наоборот. Ясно, что 
является решением.
Пусть 
Тогда 
и 
Значит, 
что противоречит предположению. Точно так же разбирается случай 
Ответ: 
Координаты 
точек в квадрате 
удовлетворяют системе уравнений
Сколько таких точек находится в квадрате? Найти координаты наиболее удаленной точки от центра квадрата.
Умножаем первое уравнение на 
второе — на 
и вычитаем результаты:
Умножаем первое уравнение на 
второе — на 
и складываем результаты:
Из последнего равенства и (1) имеем
Из серии (3) условию задачи удовлетворяет только 
из серии (4) — только 
Им соответствуют серия 
содержащая единственное значение 
и серия 
откуда 
также содержащая единственное значение 
Таким образом, случаю (1) соответствует два симметричных решения
и 
Случай (2) не реализуется, поскольку 
и равенство 
невозможно. Обе точки равноудалены от центра квадрата.
Ответ: 1) две точки; 2) 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 2 | Все предыдущее + верный ответ на второй вопрос. |
| 1,5 | Верно отобрал корни и посчитал количество. |
| 1 | Перешел к равносильной линейной или полулинейной системе и верно решил ее. |
| 0,5 | Получил одну верную линейную связь между x и y. |
| 0 | Верный ответ на первый и/или второй вопрос задачи без обоснования. |
Решить систему уравнений:
Возведем каждое уравнение в квадрат и затем сложим найденные уравнения, получим
Рассмотрим четыре случая.
1. Если 
то
поэтому 
2. Если 
то
поэтому 
3. Если 
то
поэтому 
4. Если 
то
поэтому 
Ответ:
1) 
2) 
3) 
4) 
1. Задача решена и дано ее полное объяснение — 10 балов.
2. Получено уравнение относительно x, верно решено, но допущена ошибка при определении величины y или выполнен не полный перебор вариантов решения относительно переменной y
— 6 баллов.
3. Решение сведено к уравнению относительно x, но допущена ошибка при его решении — 3 балла.
4. Задача не решена (или не решалась) или записан ответ без объяснений — 0 баллов.
1) 2) 3) 4)
Наверх