Всего: 9 1–9
Добавить в вариант
— единичные векторы в пространстве. Докажите, что 
то
которое вытекает из неравенства треугольника 
где необходимо положить 
В равногранном тетраэдре отметили основания и середины всех четырёх его медиан. Каждое основание медианы тетраэдра соединили с серединами трёх остальных. Докажите, что получившийся многогранник прямоугольный параллелепипед.
и 
Тог да основания медиан задаются формулой 
и аналогичными ей, а середины медиан формулой 
Рассмотрим первые два вектора. Введём дополнительные обозначения 
и 
Тогда нам нужно доказать, что 
то есть, что скалярное произведение этих векторов равно 0. Их скалярное произведение это 
а равенство его нулю равносильно равенству 
и 
то есть равенству длин 
и 
Но это равенство означает, что два противоположных ребра тетраэдра равны, что следует из равногранности тетраэдра. Перпендикулярность остальных пар векторов доказывается аналогично.В ортоцентрическом тетраэдре отметили основания и середины всех четырёх его медиан. Каждое основание медианы тетраэдра соединили с серединами трёх остальных. Докажите, что в получившемся многограннике все рёбра имеют равную длину.
и 
Отсюда полу чаем 
Вспоминая, что такое 
полу чаем 
что и требовалось доказать.На плоскости дан выпуклый многоугольник с вершинами в целых точках, содержащий внутри начало координат O. Пусть V1 — множество векторов, идущих из O в вершины многоугольника, а V2 — множество векторов, идущих из O во все целые точки, содержащиеся внутри и на границе многоугольника (таким образом, V1 содержится в V2). Два кузнечика прыгают по целым точкам: каждый прыжок первого кузнечика смещает его на вектор из множества V1, а второго — из V2. Докажите, что для некоторого числа c верно следующее утверждение: если оба кузнечика могут допрыгать из O до некоторой точки A, причем второму понадобится для этого n прыжков, то первый сможет сделать это не более чем за n + c прыжков.
(А. Акопян)
тогда 
лежит в треугольнике с вершинами 
и, значит, 
где α, β, γ — неотрицательные рациональные числа с суммой 1 (они пропорциональны площадям треугольников vbc, vac, vab соответственно). Если 
—
прыжков на вектор 
прыжков на вектор 
прыжков на вектор 
Таким образом, можно считать, что второй кузнечик использует прыжок на вектор 
раз. 
такая что 
где 
и 
обозначают количества прыжков, необходимых первому и второму кузнечикам соответственно, чтобы достичь 
всегда один и тот же — ведь мы добились того, что количество возможных таких наборов конечно. Еще несколько раз переходя к подпоследовательности, можем считать, что для каждого вектора 
количество 
прыжков на вектор 
у второго кузнечика для достижения точки 
стабилизируется или же возрастает к бесконечности. Это позволяет считать, что при 
точка 
причем все прыжки из 
в 
и их количество равно 
Но тогда первый кузнечик может попасть в 
данные точки, O — центр сферы. Обозначим 
Тогда сумма квадратов расстояний между точками 
величина 
и уравнение не имеет решений, поэтому искомый радиус 
При 
уравнение равносильно системе 
и расстоянием между плоскостями, равным 
Второе уравнение задает семейство плоскостей с нормальным вектором 
и расстоянием между плоскостями, равным 
и 
и 
Из подобия треугольников AOB и DOC имеем: 
и 
и 
и 
Найдем скалярное произведение 
то 
По определению скалярного произведения векторов, получим 
и 
и 
и 
и 
Найдем скалярное произведение 
в основании которой лежит параллелограмм ABCD. Плоскость 
пересекает ребра 
и OD пирамиды в точках 
и 
соответственно. Известно, что 
— параллелограмм, поэтому 
и, следовательно, 
а 
коээфициенты 
и z удовлетворяют уравнению 
(это, как известно, уравнение плоскости, даже если система координат не декартова, а точки 
и 
поэтому 
откуда 
Поскольку треугольники ABC и ACD равны, 
a 
