На плоскости дан выпуклый многоугольник с вершинами в целых точках, содержащий внутри начало координат O. Пусть V1 — множество векторов, идущих из O в вершины многоугольника, а V2 — множество векторов, идущих из O во все целые точки, содержащиеся внутри и на границе многоугольника (таким образом, V1 содержится в V2). Два кузнечика прыгают по целым точкам: каждый прыжок первого кузнечика смещает его на вектор из множества V1, а второго — из V2. Докажите, что для некоторого числа c верно следующее утверждение: если оба кузнечика могут допрыгать из O до некоторой точки A, причем второму понадобится для этого n прыжков, то первый сможет сделать это не более чем за n + c прыжков.
(А. Акопян)
Пусть 
тогда 
лежит в треугольнике с вершинами 
из 
и, значит, 
где α, β, γ — неотрицательные рациональные числа с суммой 1 (они пропорциональны площадям треугольников vbc, vac, vab соответственно). Если 
— можно заменить на 
прыжков на вектор 
прыжков на вектор 
прыжков на вектор 
Таким образом, можно считать, что второй кузнечик использует прыжок на вектор менее чем 
раз.
Предположим, что утверждение задачи неверно, тогда имеется последовательность точек 
такая что 
где 
и 
обозначают количества прыжков, необходимых первому и второму кузнечикам соответственно, чтобы достичь 
всегда один и тот же — ведь мы добились того, что количество возможных таких наборов конечно. Еще несколько раз переходя к подпоследовательности, можем считать, что для каждого вектора 
количество 
прыжков на вектор 
у второго кузнечика для достижения точки 
стабилизируется или же возрастает к бесконечности. Это позволяет считать, что при 
точка достигается вторым кузнечиком через промежуточную точку 
причем все прыжки из 
в лежат в 
и их количество равно 
Но тогда первый кузнечик может попасть в за
прыжков. Противоречие.