В трапеции ABCD точки K, N, M принадлежат отрезку BC, BK = KN = NM = MC = 1, а точки L, O, P, Q принадлежат отрезку AD, AL = LO = PO = QP = QD = 3. Прямые BC и AD параллельны. Точка K соединена с точками A, L, O, P, Q, D. Точка L соединена с точками B, K, N, M, C. Докажите, что точки пересечения прямых BL и AK, KO и LN, KQ и LC лежат на одной прямой. Найдите длину отрезка этой прямой между боковыми сторонами трапеции.
1) Пусть прямые BL и AK пересекаются в точке E, прямые KO и LN пересекаются в точке F и прямые KQ и LC пересекаются в точке G.
2) Треугольники BEK и AEL подобны, следовательно, 
3) Треугольники KFN и LFO подобны, следовательно, 
4) Треугольники EFK и AOK подобны, следовательно, прямая EF параллельна AO.
5) Треугольники KGC и LGQ подобны, тогда 
отсюда треугольник FKG подобен треугольнику OKQ, следовательно, прямая FG параллельна OQ.
6) Прямые EF и FG параллельны основанию AD, следовательно, точки E, F, G лежат на одной прямой, параллельной 
7) Пусть прямая EF пересекает AB в точке H и прямая EF пересекает прямую CD в точке J. Тогда по обобщенной теореме Фалеса, получаем
8) Проведем BX параллельно CD, тогда четырехугольник BXDC по определению параллелограмм. Пусть BX пересекает EF в точке S. Тогда 
и
следовательно,
Ответ: 6,75.