В трапеции ABCD точки K, N принадлежат отрезку BC, BK = KN = NC = 1, а точки P, Q принадлежат отрезку AD, AP = PQ = QD = 2. Прямые BC и AD параллельны. Точка K соединена с точками A, P, Q, D. Точка P соединена с точками B, K, N, C. Докажите, что точки пересечения прямых BP и AK, KQ и PN, KD и PC лежат на одной прямой. Найдите длину отрезка этой прямой между боковыми сторонами трапеции.
1) Пусть прямые BP и AK пересекаются в точке T, прямые KD и PC пересекаются в точке F и прямые KQ и PN пересекаются в точке L.
2) Треугольники BTK и ATP подобны, следовательно, 
3) Треугольники KLN и PLQ подобны, следовательно, 
4) Треугольники TKL и AKQ подобны, следовательно, прямая KL параллельна AQ.
5) Треугольники KFC и PFD подобны, тогда 
следовательно, треугольник KLF подобен треугольнику KQD, отсюда прямая LF параллельна QD.
6) Прямые TL и LF параллельны основанию AD, следовательно, точки T, L, F лежат на одной прямой,
7) Пусть прямая TL пересекает боковую сторону AB в точке M и прямая TL пересекает боковую сторону CD в точке Y. Тогда по обобщенной теореме Фалеса, получаем
8) Проведем BE параллельно CD, тогда BEDC параллелограмм по определению и 
Прямая TL пересекает BE в точке Z, 
по обобщенной теореме Фалеса, тогда 
a 
Ответ: 4.