РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 818 Добавить в вариант

Олимпиада школьников Физтех, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Уравнения иррациональные, Методы алгебры. Разложение на множители

Решите уравнение

$левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби плюс 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в кубе минус 4x плюс 80 конец аргумента =x в квадрате плюс 10x плюс 24.$

Решение.

Решение. Раскладывая правую часть на множители и умножая обе части на $2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,$ получаем

$левая круглая скобка x плюс 10 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в степени левая круглая скобка 3 конец аргумента минус 64 x плюс 200 правая круглая скобка =2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 10 правая круглая скобка .$

Отсюда есть две возможности: либо $x плюс 10=0$ (тогда $x= минус 10,$ что не подходит по ОДЗ, так как подкоренное выражение отрицательно), либо

$корень из: начало аргумента: x в степени левая круглая скобка 3 конец аргумента минус 64 x плюс 200 правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка .$

Решаем последнее уравнение:

$система выражений x в степени левая круглая скобка 3 правая круглая скобка минус 6 4 x плюс 2 0 0 = 8 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка , x минус 4 больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений x в степени левая круглая скобка 3 правая круглая скобка минус 8 x в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс 7 2 = 0 , x больше или равно 4 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 2 x минус 12 правая круглая скобка =0, x больше или равно 4. конец системы ....$ $система выражений x в степени левая круглая скобка 3 правая круглая скобка минус 6 4 x плюс 2 0 0 = 8 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка , x минус 4 больше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x в степени левая круглая скобка 3 правая круглая скобка минус 8 x в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс 7 2 = 0 , x больше или равно 4 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 2 x минус 12 правая круглая скобка =0, x больше или равно 4. конец системы ....$ $система выражений x в степени левая круглая скобка 3 правая круглая скобка минус 6 4 x плюс 2 0 0 = 8 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка , x минус 4 больше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x в степени левая круглая скобка 3 правая круглая скобка минус 8 x в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка плюс 7 2 = 0 , x больше или равно 4 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 2 x минус 12 правая круглая скобка =0, x больше или равно 4. конец системы ....$

Уравнение системы имеет корни $x=6,$ $x=1 \pm корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента ,$ и из них неравенству удовлетворяют $x=6$ и $x=1 плюс корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента .$ Это и есть ответ к задаче.

Ответ: $левая фигурная скобка 6; корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента плюс 1 правая фигурная скобка .$

Критерии проверки:

Уравнение сведено к кубическому — 1 балл.

Сокращение обеих частей уравнения на линейную функцию произведено без проверки — снять 1 балл.

Получен хотя бы один лишний корень — не более 2 баллов за задачу.

Ответ: $левая фигурная скобка 6; корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента плюс 1 правая фигурная скобка .$

Аналоги к заданию № 811: 818 Все

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе