РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 702 Добавить в вариант

Открытая олимпиада школьников, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Треугольник прямоугольный, Олимпиадная геометрия. Неравенства в геометрии

Докажите, что в прямоугольном треугольнике площадь не превосходит квадрата полупериметра, разделённого на 5 c половиной.

Решение.

Пусть стороны треугольника имеют длины x и y. Тогда полупериметр

$p= дробь: числитель: x плюс y плюс корень из: начало аргумента: x в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс y в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби .$

По неравенствам о средних получаем

$дробь: числитель: x плюс y плюс корень из: начало аргумента: x в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс y в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби больше или равно корень из: начало аргумента: x y конец аргумента плюс дробь: числитель: корень из: начало аргумента: x y конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби .$

Так как площадь $S= дробь: числитель: x y, знаменатель: 2 конец дроби ,$ мы получаем $p больше или равно левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби правая круглая скобка x y,$ откуда

$p в квадрате больше или равно левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка x y= левая круглая скобка 3 плюс 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка S больше 5,5 S.$

Аналоги к заданию № 694: 702 Все

РешениеСпрятать решение · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе